数学积累(强基2 例28~43)
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斯库顿定理:AD 为 B 角平分线,则有:\(AD^2=AB\times AC-BD\times CD\)。
证明:对于角平分线的条件,如果放入圆中,会有奇妙性质。故延长 AD 至 E,使 ABCE 共圆。
则相交弦定理(相似证明):\(DA\cdot DE=DB\cdot DC\)。
又 ABD ~ AEC 相似:\(AB\cdot AC=AD\cdot AE\)。
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斯特瓦尔特定理:对于 BC 上任意一点 D,有恒等式:\(AB^2\cdot CD+AC^2\cdot BD-AD^2\cdot BC=BD\cdot CD\cdot BC\)。
这是万物本源,所有的定理都是这个结论的推论。但是唯一的缺点是 3 次,可能难计算。
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基本不等式巩固:(每一组前后互相推到)
- \(a+b\ge 2\sqrt{ab}\);\(ab\le \dfrac{(a+b)^2}{4}\)。
- \(a+b\le \sqrt{2(a^2+b^2)}\);\(a^2+b^2\ge \frac{1}{2} (a+b)^2\)。
- \(ab\le \dfrac{a^2+b^2}{2}\);\(a^2+b^2\ge 2ab\)。
注意 \(a+b\) 和 \(a^2+b^2\) 的公式本质都是一样的。
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托勒密定理。推导:引入等腰三角形点 E,构造两个相似结合圆性质得。
一般的形式:对边乘积和 >= 对角线乘积和。
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翻译条件:所有单位向量和为 0 =》 三个向量夹角为 120 =》 P 是费马点。
而在 30-60-90 模型中,不难发现有一组相似。完。
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矩形大法的应用,根据 PD 非负可以得到范围。并且有结论:k 变大到一定程度,P 点将在正方形外。
或者解出 P 的轨迹是个圆方程,在计算。
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证明不等式,可构造函数 f(x)=l-r,证明其与 0 的关系即可。
注意 f(x) 是二次三元结构,尝试主元法:变成关于 x 的二次方程,只需考虑 \(\Delta\),而其只与 \(y,z\) 相关!
对 \(\Delta\) 化简整合。发现其可以配方,QED。
\(\alpha,\beta,\theta\) 为任意三角形内角,对于任意 \(x,y,z\in R\),恒有 \(x^2+y^2+z^2\ge 2xy\cos\theta+2yz\cos\alpha+2xz\cos\beta\)。