数学积累（强基2 例28~43）

30

斯库顿定理：AD 为 B 角平分线，则有：\(AD^2=AB\times AC-BD\times CD\)。

证明：对于角平分线的条件，如果放入圆中，会有奇妙性质。故延长 AD 至 E，使 ABCE 共圆。

则相交弦定理（相似证明）：\(DA\cdot DE=DB\cdot DC\)。

又 ABD ~ AEC 相似：\(AB\cdot AC=AD\cdot AE\)。

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32

斯特瓦尔特定理：对于 BC 上任意一点 D，有恒等式：\(AB^2\cdot CD+AC^2\cdot BD-AD^2\cdot BC=BD\cdot CD\cdot BC\)。

这是万物本源，所有的定理都是这个结论的推论。但是唯一的缺点是 3 次，可能难计算。

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33

基本不等式巩固：（每一组前后互相推到）

1. \(a+b\ge 2\sqrt{ab}\)；\(ab\le \dfrac{(a+b)^2}{4}\)。
2. \(a+b\le \sqrt{2(a^2+b^2)}\)；\(a^2+b^2\ge \frac{1}{2} (a+b)^2\)。
3. \(ab\le \dfrac{a^2+b^2}{2}\)；\(a^2+b^2\ge 2ab\)。

注意 \(a+b\) 和 \(a^2+b^2\) 的公式本质都是一样的。

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34

托勒密定理。推导：引入等腰三角形点 E，构造两个相似结合圆性质得。

一般的形式：对边乘积和 >= 对角线乘积和。

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35

翻译条件：所有单位向量和为 0 =》 三个向量夹角为 120 =》 P 是费马点。

而在 30-60-90 模型中，不难发现有一组相似。完。

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37

矩形大法的应用，根据 PD 非负可以得到范围。并且有结论：k 变大到一定程度，P 点将在正方形外。

或者解出 P 的轨迹是个圆方程，在计算。

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43

证明不等式，可构造函数 f(x)=l-r，证明其与 0 的关系即可。

注意 f(x) 是二次三元结构，尝试主元法：变成关于 x 的二次方程，只需考虑 \(\Delta\)，而其只与 \(y,z\) 相关！

对 \(\Delta\) 化简整合。发现其可以配方，QED。

\(\alpha,\beta,\theta\) 为任意三角形内角，对于任意 \(x,y,z\in R\)，恒有 \(x^2+y^2+z^2\ge 2xy\cos\theta+2yz\cos\alpha+2xz\cos\beta\)。