数学积累（强基2 例1~例27）

有很多简单题，但是也有很多让人惊叹的。

2

题目中 \(c\) 什么条件都没有，所以直接不看而用 f(a)=f(b) 建立方程。

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4

法 1：平方后使用均值得到上下界，验证取等条件即可。

法 2：利用和差角公式进行放缩（两次），而后验证取等。（放缩式尽可能多）

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5

trick：对目标式引入换元然后重写条件式，达到简化的目的。

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6

trick：恒成立问题可以先找特殊情况得到一个结论，而后尝试证明这个结论恒成立。

要求 a+b max，故不妨 \(\cos x=\cos 2x\)。解得 \(\cos x=-1/2\)。故一定有 \(a+b\le 2\)。最后证明可以取等即可，即 \(a+b=2\) 时也恒成立。

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7

只需要验证正确即可，无需验证取等/严格范围。

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8

有关 tan 的结论，都是用暴算推的。

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9

利用 \(\lim_{x\to 0}\sin x / x = 1\)。注意 tan 的结论相反，因为 \(\tan x/x>1,x\in (0,1)\)。

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11（6）

尝试使用 sin2x=2sinxcosx。

构造对偶式 \(B=\prod{\sin x}\)。有：\(AB=\frac{1}{2^n} \prod \sin \frac{2iπ}{2n+1}\)。

运用之前强基到的技巧，将后面部分分子大于 n 的诱导公式放到前面，观察到 \(AB=\frac{1}{2^n}B\)，完。

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11 (7)

根据公式：\(\sin B\cos A=1/2 [\sin(A+B)-\sin(A-B)]\) 裂项。

裂项要消掉，故乘上的角满足 \(\alpha = d/2\)。

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12

三角函数和根号2根本无法联系在一起。注意到多项求和，和上面一样裂项后估算即可。

由于三角函数的周期性也可以猜测要么解无穷要么无解。

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13~24

都是高考范围内的套路题

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26

注意对于任意 x，不妨先代入特殊 x 得到条件。

\(f(x+T)=Tf(x)\)。只需分别使 \(f(x)=1,f(x+T)=1\) 代入。

根据三角函数范围，巧妙地得到 \(T=-1\)。

其实有推论：对于无穷有界函数 \(f(x)\)，若其满足 \(f(x+a)=kf(x),a\in R,f(x)\neq 0\)，则一定有 \(|k|=1\)。证明易。

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27

解三角形的一个小有难度的题。

对条件 \(A-C=π\) 直接用诱导公式进行翻译，再角化边做可行，但是计算量太大了。（老师做法）

直接边化角，二次方程解出角 C，同理得到 ABC。

后面的题开始介绍一些解三角形的公式（课外）。下文再见。