数学积累(强基2 例1~例27)
有很多简单题,但是也有很多让人惊叹的。
2
题目中 \(c\) 什么条件都没有,所以直接不看而用 f(a)=f(b) 建立方程。
4
法 1:平方后使用均值得到上下界,验证取等条件即可。
法 2:利用和差角公式进行放缩(两次),而后验证取等。(放缩式尽可能多)
5
trick:对目标式引入换元然后重写条件式,达到简化的目的。
6
trick:恒成立问题可以先找特殊情况得到一个结论,而后尝试证明这个结论恒成立。
要求 a+b max,故不妨 \(\cos x=\cos 2x\)。解得 \(\cos x=-1/2\)。故一定有 \(a+b\le 2\)。最后证明可以取等即可,即 \(a+b=2\) 时也恒成立。
7
只需要验证正确即可,无需验证取等/严格范围。
8
有关 tan 的结论,都是用暴算推的。
9
利用 \(\lim_{x\to 0}\sin x / x = 1\)。注意 tan 的结论相反,因为 \(\tan x/x>1,x\in (0,1)\)。
11(6)
尝试使用 sin2x=2sinxcosx。
构造对偶式 \(B=\prod{\sin x}\)。有:\(AB=\frac{1}{2^n} \prod \sin \frac{2iπ}{2n+1}\)。
运用之前强基到的技巧,将后面部分分子大于 n 的诱导公式放到前面,观察到 \(AB=\frac{1}{2^n}B\),完。
11 (7)
根据公式:\(\sin B\cos A=1/2 [\sin(A+B)-\sin(A-B)]\) 裂项。
裂项要消掉,故乘上的角满足 \(\alpha = d/2\)。
12
三角函数和根号2根本无法联系在一起。注意到多项求和,和上面一样裂项后估算即可。
由于三角函数的周期性也可以猜测要么解无穷要么无解。
13~24
都是高考范围内的套路题
26
注意对于任意 x,不妨先代入特殊 x 得到条件。
\(f(x+T)=Tf(x)\)。只需分别使 \(f(x)=1,f(x+T)=1\) 代入。
根据三角函数范围,巧妙地得到 \(T=-1\)。
其实有推论:对于无穷有界函数 \(f(x)\),若其满足 \(f(x+a)=kf(x),a\in R,f(x)\neq 0\),则一定有 \(|k|=1\)。证明易。
27
解三角形的一个小有难度的题。
对条件 \(A-C=π\) 直接用诱导公式进行翻译,再角化边做可行,但是计算量太大了。(老师做法)
直接边化角,二次方程解出角 C,同理得到 ABC。
后面的题开始介绍一些解三角形的公式(课外)。下文再见。