每日一数 Day1 求和

该系列主要记录除了学校教的数学以外的内容。主要来自知乎。

https://www.zhihu.com/question/2884915655

求 \(F_n=\large\sum_{i=1}^n 2i(2i-1)\)。

法 1 自然数前 \(n\) 项和

注意原式等于 \(4\sum i^2-2\sum i\)。

我们知道：

\[\sum i^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \]

\[\sum i=\frac{1}{2}n(n+1) \]

最终 \(F_n=\dfrac{4}{3}n^3+n^2-\dfrac{1}{3}n\).

重点是把公式记住，并且学会拆分分别求和。

法 2 待定系数法

结论：对于 \(n\) 次表达式确定的 \(a_n\)，\(S_n\) 可用 \(n+1\) 次表示。证明不知道。

于是设 \(S_n=an^3+bn^2+cn+d\)，代入 4 个点（1~4）解出 abcd 即可。

但是注意计算量有点小大，不妨改成点 -1~2，改变定义 \(S'_n=\sum _{i=-1}^n a_i\)，则可知 \(S_n=S'_n-k\)，\(k=a_{-1}+a_0\)。这样计算量就变小了。

优点：通法。

法 3 裂项+构造函数法

我们知道：

\[n(n-1)=\frac{1}{3}[n(n-1)(n+1)-n(n-1)(n-2)] \]

记 \(P_n=1*2+2*3+...+2n(2n+1),G_n=2*3+4*5+...+2n(2n+1)\)。

但是注意原式并不是连续的，即 \(P_n=F_n+G_n\)。

而 \(P_n\) 就可以用裂项算了。现在要求 \(F_n\)，只需再找一个关系。

相减：\(F_n-G_n=4\sum i\)。

可求得 \(F_n\)。

总结：需要集中注意力。对于数列求和都可以想一下能不能裂项相消。