数学积累(强基 P9~16)
至此,前 2 天的数学强基总结完毕。
矩形大法
矩形 \(ABCD\) 平面中,对任意一点有 \(OA^2+OC^2=OB^2+OD^2\)。
几个推论:
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\(\vec{OA}+\vec{OC}=\vec{OB}+\vec{OD}\)。
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\(\vec{OA}·\vec{OC}=\vec{OB}·\vec{OD}\)。
等分单位圆
\(O\) 是正多边形 \(A_1A_2...A_n\) 的中心,\(\large\sum \vec{OA_i}=\vec{0}\)
证明:设和为 \(\vec{n}\),则将整个圆转 \(\frac{2π}{n}\),左边和不变,但 \(\vec{n}\) 方向也要跟着转,故 \(n\) 方向任意,故 \(\vec{n}=\vec{0}\)。
推论:
对于任意 \(\alpha\),\(\sin \alpha + \sin(\alpha + 2π/3)+\sin(\alpha+4π/3)=0\),cos 同理。
单位圆有关结论
\[\sum_{i=1}^n \cos \frac{2iπ}{2n+1}=-\frac{1}{2} \text{ } (1) \]\[\sum_{i=1}^{n} \cos \frac{(2i-1)π}{2n+1}=\frac{1}{2}\text{ } (2) \]
记录一下,这个东西曾经困扰了我很久,终于自己钻研出来了。(其实老师讲了的,但开小差了)
证明:
设 \(w=\cos \frac{2π}{2n+1}\) 为 \(2n+1\) 次单位根,则:\(1+w^1+w^2+...+w^{2n}=0\)。
根据奇数次单位根的性质有:\(w^i=\overline w^{2n+1-i}\)。则上式变成:\(w^1+w^2+...+w^n+\overline{w}^n+...+\overline w^1\)。
此处不妨将 \(w\) 记为原来 \(w\) 的横坐标,即 \(\cos w\)。
则有:\(w=\overline{w}\)
则有:\(S=\sum _{i=1}^n w^i=\sum_{i=n+1}^{2n} w^i\)
有 \(1+2S=0\),推出 \(S=-1/2\)。
至此我们相当于推出的是 (1)。
观察 2 由于分子不是 2π 的倍数无法用单位根表示,但是我们可以利用诱导公式得到:\(\cos \frac{(2i-1)π}{2n+1}=-\cos\frac{2π(n-i+1)}{2n+1}\)。从而和 (1) 式相同。至此证毕。
主元+辅助角
求二元的三角最值问题的思路。eg:
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三角形中,证明:\(\cos A+\cos B+\cos C\le 3/2\)。
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三角形中,求 \(x\sin A+y\sin B+z\sin C\) 的最大值。
奔驰定理和四心的推论
注意外心由于是 sin 的二倍角比例,不好用。可以直接将条件式平方找到关系。