数学积累（强基资料 P1~8）

以后有个想法，多看看知乎上的数学问题，并尝试回答一些能力之内的。

拉格朗日配方法

适用于解决多元表达式的配方。核心思路是主元 \(x\) 并先将其配方，一直这样做下去直到只剩下常数。

优点：总能成功。

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柯西不等式

\[(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge (ac+bd)^2 \]

取等条件：\(ad=bc\)。即 \(\vec{n}=(a,b)\) 与 \(\vec{m}=(c,d)\) 共线。

证明：\(|\vec{a}·b|\le |a||b|\)。

实际运用中，常将 \(c\) or \(d\) 弄成 1 进行放缩。

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广义判别式

对于非严格的系数含 \(x\) 的二次方程，\(\Delta \ge 0\) 是方程有解的必要条件。

也就是说，最后仍需代入验证。

原因不难，判别式本质是配方法推出的，与是否含 \(x\) 无关。

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拉格朗日恒等式

\[(x_1^2+y_1^2)(x_2+y_2^2)=(x_1x_2+y_1y_2)^2+(x_1y_2-x_2y_1)^2 \]

将右边去掉即为柯西不等式。

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一个二次结论

\[a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\Longleftrightarrow a=b=c \]

证明配方即可。

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欧拉恒等式

\[a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \]

推论：\(a^3+b^3+c^3=3abc\Longleftrightarrow a=b=c 或 a+b+c=0)\)

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三角形中半角正切关系

\[\tan_{A/2}\tan_{B/2}+\tan_{B/2}\tan_{C/2}+\tan_{C/2}\tan_{A/2}=1 \]

证明：利用 \(\tan_{\frac{A+B}{2}}=\tan_{π/2-C/2}\)，展开左边即可。

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\(n\) 阶不动点定理

定义一阶不动点表示 \(f(x)=x\) 的解。

若 \(f(x)\) 单调，\(f_n(x)=x\Longleftrightarrow f(x)=x\)。

只能反证法。运用中可以把多项式构造成函数翻译成 \(f(x)=x\)。

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函数与反函数交点

\[f(x)=f^{-1}(x)\Longrightarrow f(f(x))=f(f^{-1}(x))=x \]

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整系数方程有理根

设 \(f(x)=a_nx^n+...+a_0,x_0\in R,x_0=\dfrac{q}{p},f(x_0)=0\)，\(a_i\) 为整，则 \(p\mid a_n,q\mid a_0\)。

有了这个可以证明一些很有趣的结论：

1. \(\sqrt 2+\sqrt 3\) 是无理数。

2. \(\sin10\) 是无理数。

思路都是构造一个整系数方程使得题目中的数是其零点，若方程有有理根那么根据定理进行限制，一一验证说明不满足，即证明该数一定是无理数。

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\(n\) 次方程韦达定理

\(\sum x_i=-b/a\)
\(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=c/a\)
\(\prod x_i=-d/a\)

上面是 3 次方程的例子，n 次形式是一样的。

这是对一个高次方程最形象的翻译。

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拓：曲线

非强基。