快速线性筛详解
转自：http://blog.csdn.net/dinosoft/article/details/5829550
一般的线性筛法
首先先介绍一般的线性筛法求素数
void make_prime() { memset(prime, 1, sizeof(prime)); prime[0]=false; prime[1]=false; int N=31700; for (int i=2; i<N; i++) if (prime[i]) { primes[++cnt ]=i; for (int k=i*i; k<N; k+=i) prime[k]=false; } return; }
这种方法比较好理解，初始时，假设全部都是素数，当找到一个素数时，显然这个素数乘上另外一个数之后都是合数(注意上面的 i*i , 比 i*2 要快点 )，把这些合数都筛掉，即算法名字的由来。
但仔细分析能发现，这种方法会造成重复筛除合数，影响效率。比如10，在i=2的时候，k=2*15筛了一次；在i=5，k=5*6 的时候又筛了一次。所以，也就有了快速线性筛法。
快速线性筛法
快速线性筛法没有冗余，不会重复筛除一个数，所以“几乎”是线性的，虽然从代码上分析，时间复杂度并不是O(n)。先上代码
#include<iostream> using namespace std; const long N = 200000; long prime[N] = {0},num_prime = 0; int isNotPrime[N] = {1, 1};//先将0，1排除 int main() { for(long i = 2 ; i < N ; i ++) { if(! isNotPrime[i]) //isNotPrime==0 prime[num_prime ++]=i;//自己在前面打好了标记。 //关键处1 /*i为合数时也要参与循环*/ for(long j = 0 ; j < num_prime/*小于已经求出的质数个数*/ && i * prime[j]/*乘以其它质数，且质数比自己小或者是自己（已经求出来了），所以不可能重复*/ < N ; j ++) { isNotPrime[i * prime[j]] = 1;//乘以其它素数得到的一定是合数，之所以不重复是因为质数间不等 if( !(i % prime[j] ) ) //关键处2 i%prime==0 根据“关键处2”的定义，当p1==prime[j] 的时候， //筛除就终止了(从最小质数开始所以本句话成立）， break; } } return 0; //我们可以直观地举个例子。i=2*3*5*3，补大 //此时能筛除 2*i ,不能筛除 3*i //如果能筛除3*i 的话，当 i' 等于 i'=3*3*5 加小 时，筛除2*i' 就和前面重复了。（顺序性） }
先，先明确一个条件，任何合数都能表示成一系列素数的积。
不管 i 是否是素数，都会执行到“关键处1”，
①如果 i 都是是素数的话，那简单，一个大的素数 i 乘以不大于 i 的素数，这样筛除的数跟之前的是不会重复的。筛出的数都是 N=p1*p2的形式, p1，p2之间不相等
②如果 i 是合数，此时 i 可以表示成递增素数相乘 i=p1*p2*...*pn, pi都是素数（2<=i<=n）， pi<=pj ( i<=j )
p1是最小的系数。
根据“关键处2”的定义，当p1==prime[j] 的时候，筛除就终止了，也就是说，只能筛出不大于p1的质数*i。
我们可以直观地举个例子。i=2*3*5
此时能筛除 2*i ,不能筛除 3*i
如果能筛除3*i 的话，当 i' 等于 i'=3*3*5 时，筛除2*i' 就和前面重复了。
需要证明的东西：
- 一个数会不会被重复筛除。
- 合数肯定会被干掉。
根据上面红字的条件，现在分析一个数会不会被重复筛除。
设这个数为 x=p1*p2*...*pn, pi都是素数（1<=i<=n) , pi<=pj ( i<=j )
当 i = 2 时，就是上面①的情况，
当 i >2 时， 就是上面②的情况， 对于 i ，第一个能满足筛除 x 的数 y 必然为 y=p2*p3...*pn（p2可以与p1相等或不等），而且满足条件的 y 有且只有一个。所以不会重复删除。
证明合数肯定会被干掉？ 用归纳法吧。
类比一个模型，比如说我们要找出 n 中2个不同的数的所有组合 { i , j } ，1<=i<=n, 1<=j<=n,
我们会这么写
for (i=1; i<n; ++i )
for (j=i+1; j<=n; ++j)
{
/////
}
我们取 j=i+1 便能保证组合不会重复。快速筛法大概也是这个道理，不过这里比较难理解，没那么直观。
