【BZOJ 2618】 2618: [Cqoi2006]凸多边形（半平面交）

2618: [Cqoi2006]凸多边形

Description

逆时针给出n个凸多边形的顶点坐标，求它们交的面积。例如n=2时，两个凸多边形如下图：

则相交部分的面积为5.233。

Input

第一行有一个整数n，表示凸多边形的个数，以下依次描述各个多边形。第i个多边形的第一行包含一个整数m_i，表示多边形的边数，以下m_i行每行两个整数，逆时针给出各个顶点的坐标。

Output

输出文件仅包含一个实数，表示相交部分的面积，保留三位小数。

Sample Input

2
6
-2 0
-1 -2
1 -2
2 0
1 2
-1 2
4
0 -3
1 -1
2 2
-1 0

Sample Output

5.233

HINT

100%的数据满足：2<=n<=10，3<=m_i<=50，每维坐标为[-1000,1000]内的整数

半平面交模板：（终于缩到100行以内了。。。之前没删调试恶心的180+）

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstdlib>
 3 #include<cstring>
 4 #include<iostream>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<cmath>
 7 using namespace std;
 8 #define Maxn 1100
 9 
10 struct P
11 {
12     double x,y;
13     P() {x=y=0;}
14     P(double x,double y):x(x),y(y){}
15     friend P operator - (P x,P y) {return P(x.x-y.x,x.y-y.y);}
16     friend P operator + (P x,P y) {return P(x.x+y.x,x.y+y.y);}
17     friend P operator * (P x,double y) {return P(x.x*y,x.y*y);}
18     friend double operator * (P x,P y) {return x.x*y.y-x.y*y.x;}
19     friend double operator / (P x,P y) {return x.x*y.x+x.y*y.y;}
20 }a[Maxn];
21 struct L
22 {
23     P a,b,v;double slop;
24     friend bool operator < (L a,L b) {return (a.slop!=b.slop)?(a.slop<b.slop):a.v*(b.b-a.a)>0;}
25     friend P inter(L a,L b)
26     {
27         P nw=b.a-a.a;
28         double tt=(nw*a.v)/(a.v*b.v);
29         return b.a+b.v*tt;
30     }
31     friend bool jud(P x,L c) {return c.v*(x-c.a)<0;}
32 }l[Maxn],q[Maxn];int cnt,tot;
33 
34 void ffind()
35 {
36     for(int i=1;i<=cnt;i++) l[i].v=l[i].b-l[i].a,l[i].slop=atan2(l[i].v.y,l[i].v.x);
37     sort(l+1,l+1+cnt);
38     int L=1,R=0;
39     tot=0;
40     for(int i=1;i<=cnt;i++)
41     {
42         if(l[i].slop!=l[i-1].slop) tot++;
43         l[tot]=l[i];
44     }
45     cnt=tot;tot=0;
46     q[++R]=l[1];q[++R]=l[2];
47     for(int i=3;i<=cnt;i++)
48     {
49         while(L<R&&jud(inter(q[R-1],q[R]),l[i])) R--;
50         while(L<R&&jud(inter(q[L+1],q[L]),l[i])) L++;
51         q[++R]=l[i];
52     }
53     while(L<R&&jud(inter(q[R-1],q[R]),q[L])) R--;
54     while(L<R&&jud(inter(q[L+1],q[L]),q[R])) L++;
55     q[R+1]=q[L];
56     for(int i=L;i<=R;i++) a[++tot]=inter(q[i],q[i+1]);
57 }
58 
59 void init()
60 {
61     int n;
62     scanf("%d",&n);
63     cnt=0;
64     for(int i=1;i<=n;i++)
65     {
66         int m;
67         scanf("%d",&m);
68         P ft,now,nw;
69         scanf("%lf%lf",&ft.x,&ft.y);
70         now=ft;
71         for(int j=2;j<=m;j++)
72         {
73             scanf("%lf%lf",&nw.x,&nw.y);
74             l[++cnt].b=nw,l[cnt].a=now;
75             now=nw;
76         }
77         l[++cnt].a=now;l[cnt].b=ft;
78     }
79 }
80 
81 void get_area()
82 {
83     double ans=0;
84     for(int i=1;i<tot;i++) ans+=a[i]*a[i+1];
85     ans+=a[tot]*a[1];
86     if(tot<3) ans=0;
87     printf("%.3lf\n",ans/2);
88 }
89 
90 int main()
91 {
92     init();
93     ffind();
94     get_area();
95     return 0;
96 }

View Code

【分析】

　　然而只是想做一道半平面交的模版题，就从星期二打到了现在。。。【下午还要考试呢真是无爱。。

　　这题是求凸包的交，我们可以把每一条线段转化半平面，求半平面交。

　　对于半平面交，最朴素的想法应该是两两线段求交点，然后判断是否在每一个平面内，然后求凸包吧（感觉奇慢无比啊）

　　而事实上，如果有n的半平面的话，半平面交的答案那个凸包不会超过n条边，因为每个半平面最多只贡献一条边，说明我们事实上做了很多很多无用功。

　　根据凸包的思想，我们觉得半平面交也是有单调性的。

　　那个nlogn的算法可以看zzy的论文《半平面交的新算法及其实用价值》。

　　半平面共用向量表示，向量的左边为有效半平面。

　　定义半平面的极角为表示半平面的向量的极角。

　　根据半平面的极角进行排序，若两个半平面极角相同，明显只需要保存最靠左的半平面，根据这个去重。

　　然后这样做：

　　跟单调队列差不多，两边判断，删减。

　　注意最后还要判断一下，去尾。像这样：

　　这题就是这样了。

放代码（调试很多，不删了）

  1 #include<cstdio>
  2 #include<cstdlib>
  3 #include<cstring>
  4 #include<iostream>
  5 #include<algorithm>
  6 #include<cmath>
  7 using namespace std;
  8 #define Maxn 1100
  9 
 10 struct P {double x,y;};
 11 struct L {P a,b;double slop;}l[Maxn];
 12 //半平面只方向向量a->b的左部分
 13 //slop 极角
 14 int cnt;
 15 
 16 P operator - (P x,P y)
 17 {
 18     P tt;
 19     tt.x=x.x-y.x;
 20     tt.y=x.y-y.y;
 21     return tt;
 22 }
 23 
 24 P operator + (P x,P y)
 25 {
 26     P tt;
 27     tt.x=x.x+y.x;
 28     tt.y=x.y+y.y;
 29     return tt;
 30 }
 31 
 32 double Dot(P x,P y) {return x.x*y.x+x.y*y.y;}
 33 double Cross(P x,P y) {return x.x*y.y-x.y*y.x;}
 34 // bool operator < (L x,L y) {return x.slop<y.slop;}
 35 
 36 bool operator < (L a,L b)
 37 {
 38     if(a.slop!=b.slop)return a.slop<b.slop;
 39     return Cross(a.b-a.a,b.b-a.a)>0;
 40 }
 41 
 42 P operator * (P X,double y)
 43 {
 44     P tt;
 45     tt.x=X.x*y;
 46     tt.y=X.y*y;
 47     return tt;
 48 }
 49 
 50 P a[Maxn];
 51 L q[Maxn];
 52 int tot;
 53 
 54 P inter(L a,L b)
 55 {
 56     P X=a.a-a.b,Y=b.a-b.b,nw;
 57     double tt;
 58     nw=b.a-a.a;
 59     tt=Cross(nw,X)/Cross(X,Y);
 60     P ans=b.a+Y*tt;
 61     return ans;
 62 }
 63 
 64 bool jud(L a,L b,L c)
 65 {
 66     P p=inter(a,b);
 67     return Cross(c.b-c.a,p-c.a)<0;
 68 }
 69 
 70 void opp()
 71 {
 72     for(int i=1;i<=cnt;i++)
 73     {
 74         printf("%.2lf %.2lf %.2lf %.2lf = %.2lf \n",l[i].a.x,l[i].a.y,l[i].b.x,l[i].b.y,l[i].slop);
 75     }
 76     printf("\n");
 77 }
 78 
 79 void output()
 80 {
 81     for(int i=1;i<=tot;i++) printf("%2lf %.2lf\n",a[i].x,a[i].y);
 82     printf("\n");
 83 }
 84 
 85 void op(int L,int R)
 86 {
 87     for(int i=L;i<=R;i++)
 88         printf("%lf %lf %lf %lf\n",l[i].a.x,l[i].a.y,l[i].b.x,l[i].b.y);
 89     printf("\n");
 90 }
 91 
 92 void ffind()
 93 {
 94     for(int i=1;i<=cnt;i++)
 95       l[i].slop=atan2(l[i].b.y-l[i].a.y,l[i].b.x-l[i].a.x);
 96     sort(l+1,l+1+cnt);
 97     
 98     // opp();
 99     
100     int L=1,R=0;
101     //去重？
102     tot=0;
103     for(int i=1;i<=cnt;i++)
104     {
105         if(l[i].slop!=l[i-1].slop) tot++;
106         l[tot]=l[i];
107     }
108     cnt=tot;tot=0;
109     // opp();
110     q[++R]=l[1];q[++R]=l[2];
111     for(int i=3;i<=cnt;i++)
112     {
113         while(L<R&&jud(q[R-1],q[R],l[i])) R--;
114         while(L<R&&jud(q[L+1],q[L],l[i])) L++;
115         q[++R]=l[i];
116         // op(L,R);
117     }
118     while(L<R&&jud(q[R-1],q[R],q[L])) R--;
119     while(L<R&&jud(q[L+1],q[L],q[R])) L++;
120     q[R+1]=q[L];
121     for(int i=L;i<=R;i++)
122       a[++tot]=inter(q[i],q[i+1]);
123   // output();
124   
125   // output();
126 }
127 
128 void init()
129 {
130     int n;
131     /*scanf("%d",&n);
132     for(int i=1;i<=n;i++)
133     {
134         scanf("%lf%lf%lf%lf\n",&l[i].a.x,&l[i].a.y,&l[i].b.x,&l[i].b.y);
135     }
136     cnt=n;*/
137     scanf("%d",&n);
138     cnt=0;
139     for(int i=1;i<=n;i++)
140     {
141         int m;
142         scanf("%d",&m);
143         P ft,now;
144         scanf("%lf%lf",&ft.x,&ft.y);
145         now=ft;
146         for(int j=2;j<=m;j++)
147         {
148             P nw;
149             scanf("%lf%lf",&nw.x,&nw.y);
150             l[++cnt].b=nw;
151             l[cnt].a=now;
152             now=nw;
153         }
154         l[++cnt].a=now;l[cnt].b=ft;
155     // opp();
156     }
157     
158     
159     for(int i=1;i<=cnt;i++)
160       l[i].slop=atan2(l[i].b.y-l[i].a.y,l[i].b.x-l[i].a.x);
161     // opp();
162     
163 }
164 
165 void get_area()
166 {
167     double ans=0;
168     for(int i=1;i<tot;i++)
169     {
170         ans+=Cross(a[i],a[i+1]);
171     }
172     ans+=Cross(a[tot],a[1]);
173     if(tot<3) ans=0;
174     printf("%.3lf\n",ans/2);
175 }
176 
177 int main()
178 {
179     init();
180     ffind();
181     // output();
182     get_area();
183     return 0;
184 }

View Code

用向量法求两直线的交点：

本质就是用面积比表示线段比。

P inter(L a,L b)
{
	P X=a.a-a.b,Y=b.a-b.b,nw;
	double tt;
	nw=b.a-a.a;
	tt=Cross(nw,X)/Cross(X,Y);
	P ans=b.a+Y*tt;
	return ans;
}

半平面交核心过程：

q[++R]=l[1];q[++R]=l[2];
for(int i=3;i<=cnt;i++)
{
	while(L<R&&jud(q[R-1],q[R],l[i])) R--;
	while(L<R&&jud(q[L+1],q[L],l[i])) L++;
	q[++R]=l[i];
}
if(L<R&&jud(q[R-1],q[R],q[L])) R--;

代码的具体实现其实没有分上壳和下壳，是一起做的，每次保存有用的半平面，最后相邻的求交点形成凸包。

最后也不用处理上面去尾的情况了，但是注意加一句if，判断最后加的那个半平面是有效的。

：if(L<R&&jud(q[R-1],q[R],q[L])) R--;

【倒是对几何画板越来越熟练了，捂脸= =

2016-12-24 09:48:20

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2618: [Cqoi2006]凸多边形

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