李超线段树
李超线段树
也可以叫李超树，用于维护线段、直线，并求出最值，基于标记永久化
通常李超树的题 \(x\) 的范围可以接受
-
标记永久化：省去
pushdown，修改时一路更改被影响到的点，询问时一路累加路上的标记，在一些地方也能省去
pushup
维护直线
将这题转换为两个操作：
- 加入一条直线
- 查询所有直线在 \(x=T\) 时取到的最大值。
用 \(tg\) 维护区间内在 \(x=mid\) 时 \(y\) 值最大的函数编号，每次插入只需分类讨论。这里有两种方法
假设插入函数为 \(x\) ，当前区间 \(tg\) 对应函数为 \(y\) ，当前区间是 \([l,r]\) ，中点是 \(mid\)
sol 1
-
\(x\) 的斜率大于 \(y\) 的
-
\(x\) 在 \(mid\) 处的取值大于 \(y\) 的。 \(y\) 在右半区间一定不会优于 \(x\) 。
用 \(y\) 去更新左区间（注意是用 \(y\) 更新）。 \(tg\) 更新为 \(x\) 的编号
-
否则。 \(x\) 在左半区间一定不会优于 \(y\) ，用 \(x\) 去更新右半区间。
-
-
否则
-
\(x\) 在 \(mid\) 处的取值大于 \(y\) 的。\(y\) 在左半区间一定不会优于 \(x\)
用 \(y\) 去更新右半区间。\(tg\) 更新为 \(x\) 的编号
-
否则。\(x\) 在右半区间一定不会优于 \(y\) ，用 \(x\) 去更新左半区间
-
这种分类可得：每一次只会选择一种情况。最终保证单次修改复杂度为 \(O(\log n)\)
sol 2
-
\(x\) 在 \(l,r\) 两处的取值都大于 \(y\) 的，直接更新 \(tg\) ，返回
-
比较 \(x,y\) 在 \(mid\) 的取值，更新 \(tg\) ，以及用于更新的线段。
-
实现比较巧妙：将 \(y\) 定义为引用变量，如果 \(x\) 在 \(mid\) 处取值大于 \(y\) 的就
swap(x, y)得到 \(y\) 是较优的那个， \(x\) 用于更新。
-
-
\(x\) 在 \(l\) 处取值大于 \(y\) 的， \(x\) 可能在左区间更优，更新左区间
-
\(x\) 在 \(r\) 处取值大于 \(y\) 的， \(x\) 可能在右区间更优，更新右区间。
同 sol1 的分析，复杂度为 \(O(\log n)\)
code
最终 sol2 更加简洁，常数更小，此处用 sol2 实现
查询类似单点查询，将路上所有直线在 \(x=T\) 取到的值都取最值
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long uLL;
typedef long double LD;
typedef long long LL;
typedef double db;
const int N = 2e5 + 5;
int n, cnt, tg[N << 2];
db ans;
char op[15];
struct L {
db k, b;
} a[N];
inline db F(int i, int x) { return a[i].k * (x - 1) + a[i].b; }
#define ls (rt << 1)
#define rs (rt << 1 | 1)
void mdy(int x, int l, int r, int rt) {
register int mid = l + r >> 1, &y = tg[rt];
if (F(x, l) >= F(y, l) && F(x, r) >= F(y, r)) { tg[rt] = x; return; }
if (l == r) return;
if (F(x, mid) > F(y, mid)) swap(x, y);
if (F(x, l) > F(y, l)) mdy(x, l, mid, ls);
if (F(x, r) > F(y, r)) mdy(x, mid + 1, r, rs);
}
void ask(int p, int l, int r, int rt) {
ans = max(ans, F(tg[rt], p));
if (l == r) return;
register int mid = l + r >> 1;
if (p <= mid) ask(p, l, mid, ls);
else ask(p, mid + 1, r, rs);
}
#undef ls
#undef rs
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int Ti = n; Ti--; ) {
scanf("%s", op);
if (op[0] == 'Q') {
register int t;
scanf("%d", &t);
ans = 0;
ask(t, 1, 200000, 1);
printf("%d\n", (int)ans / 100);
} else {
++cnt;
scanf("%lf%lf", &a[cnt].b, &a[cnt].k);
mdy(cnt, 1, 200000, 1);
}
}
}
维护线段
相当于多了一个定义域 \(x\in[x_0,x_1]\) ，类似区间修改
先找到线段树中被修改区间包含的区间，再用维护直线的方法下传、更新 \(tg\) 。
复杂度分析：首先将查询分到 \(\log n\) 个线段树上区间，对于这些区间又要 \(O(\log n)\) 的时间下传
单次修改 \(O(n\log^2 n)\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long uLL;
typedef long double LD;
typedef long long LL;
typedef double db;
const int N = 1e5 + 5, M = 39989, P = 1e9;
int n, cnt, tg[N << 2], ans;
db mxx;
struct L { db k, b; } p[N];
inline db F(int i, int x) { return p[i].k * x + p[i].b; }
#define ls (rt << 1)
#define rs (rt << 1 | 1)
void mdy(int ql, int qr, int x, int l, int r, int rt) {
if (ql > r || l > qr) return;
register int mid = l + r >> 1;
if (ql <= l && r <= qr) {
register int &y = tg[rt];
if (F(x, l) > F(y, l) && F(x, r) > F(y, r)) {
tg[rt] = x;
return;
}
if (l == r) return;
if (F(x, mid) > F(y, mid)) swap(x, y);
if (F(x, l) > F(y, l)) mdy(ql, qr, x, l, mid, ls);
if (F(x, r) > F(y, r)) mdy(ql, qr, x, mid + 1, r, rs);
return;
}
mdy(ql, qr, x, l, mid, ls);
mdy(ql, qr, x, mid + 1, r, rs);
}
inline void cmx(int i, int x) {
register db v = F(i, x);
if (v > mxx || (v == mxx && i < ans)) ans = i, mxx = v;
}
void ask(int x, int l, int r, int rt) {
cmx(tg[rt], x);
if (l == r) return;
register int mid = l + r >> 1;
if (x <= mid) ask(x, l, mid, ls);
else ask(x, mid + 1, r, rs);
}
#undef ls
#undef rs
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int Ti = n, ls = 0, op; Ti; Ti--) {
scanf("%d", &op);
if (!op) {
register int t;
scanf("%d", &t);
t = (t + ls - 1) % M + 1;
mxx = 0;
ans = 0;
ask(t, 1, M, 1);
printf("%d\n", ls = ans);
} else {
register int xx, yy, x2, y2;
scanf("%d%d%d%d", &xx, &yy, &x2, &y2);
xx = (xx + ls - 1) % M + 1;
x2 = (x2 + ls - 1) % M + 1;
yy = (yy + ls - 1) % P + 1;
y2 = (y2 + ls - 1) % P + 1;
if (xx > x2) swap(xx, x2), swap(yy, y2);
++cnt;
if (xx == x2) p[cnt].k = 0, p[cnt].b = max(yy, y2);
else p[cnt].k = 1.0 * (yy - y2) / (1.0 * xx - x2), p[cnt].b = 1.0 * yy - p[cnt].k * xx;
mdy(xx, x2, cnt, 1, M, 1);
}
}
}
强行结合
查询上链？直接树剖。
同时根据 \(lca\) 将询问分成两段、两条直线。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long uLL;
typedef long double LD;
typedef long long LL;
typedef double db;
char buf[100000], *S = buf, *T = buf;
inline char G() { return S == T && (T = (S = buf) + fread(buf, 1, 100000, stdin), S == T) ? EOF : *S++; }
inline int Rd() {
register int x = 0, C = G(), f = 1;
for (; C < '0' || C > '9'; C = G()) f &= C ^ '-';
for (; C > '/' && C < ':'; C = G()) x = (x << 1) + (x << 3) + (C ^ 48);
return f ? x : -x;
}
const LL INF = 123456789123456789ll;
const int N = 1e5 + 5;
int n, Ti, lst[N], Ecnt, clk, tot;
int dfn[N], fa[N], dep[N], sz[N], son[N], top[N], rk[N];
int tg[N << 2];
LL dis[N], mn[N << 2], ans;
struct L { LL k, b; } p[N << 1];
struct Ed { int to, nxt; LL qz; } e[N << 1];
inline LL F(int i, int x) { return p[i].k * dis[rk[x]] + p[i].b; }
inline void Ae(int fr, int go, int vl) { e[++Ecnt] = (Ed){ go, lst[fr], 1ll * vl }, lst[fr] = Ecnt; }
void dfs1(int u, int ff) {
fa[u] = ff, dep[u] = dep[ff] + (sz[u] = 1);
for (int i = lst[u], v; i; i = e[i].nxt)
if ((v = e[i].to) ^ ff) {
dis[v] = dis[u] + e[i].qz;
dfs1(v, u), sz[u] += sz[v];
if (sz[v] > sz[son[u]]) son[u] = v;
}
}
void dfs2(int u, int nw) {
dfn[u] = ++clk, rk[clk] = u, top[u] = nw;
if (son[u]) dfs2(son[u], nw);
for (int i = lst[u], v; i; i = e[i].nxt)
if ((v = e[i].to) ^ fa[u] && v ^ son[u]) dfs2(v, v);
}
#define ls (rt << 1)
#define rs (rt << 1 | 1)
void bui(int l, int r, int rt) {
mn[rt] = INF, tg[rt] = 1;
if (l == r) return;
register int mid = l + r >> 1;
bui(l, mid, ls), bui(mid + 1, r, rs);
}
inline void Up(int rt) { mn[rt] = min(mn[rt], min(mn[ls], mn[rs])); }
void mdy(int ql, int qr, int x, int l, int r, int rt) {
if (ql > r || l > qr) return;
register int mid = l + r >> 1;
if (ql <= l && r <= qr) {
mn[rt] = min(mn[rt], min(F(x, l), F(x, r)));
register int &y = tg[rt];
if (F(x, l) <= F(y, l) && F(x, r) <= F(y, r)) { tg[rt] = x; return; }
if (l == r) return;
if (F(x, mid) < F(y, mid)) swap(x, y);
if (F(x, l) < F(y, l)) mdy(ql, qr, x, l, mid, ls);
if (F(x, r) < F(y, r)) mdy(ql, qr, x, mid + 1, r, rs);
return Up(rt);
}
mdy(ql, qr, x, l, mid, ls), mdy(ql, qr, x, mid + 1, r, rs), Up(rt);
}
void ask(int ql, int qr, int l, int r, int rt) {
if (ql > r || l > qr) return;
if (ql <= l && r <= qr) { ans = min(ans, mn[rt]); return; }
register int mid = l + r >> 1;
ans = min(ans, min(F(tg[rt], max(l, ql)), F(tg[rt], min(r, qr))));
ask(ql, qr, l, mid, ls), ask(ql, qr, mid + 1, r, rs);
}
#undef ls
#undef rs
inline int LCA(int x, int y) {
for (; top[x] ^ top[y]; x = fa[top[x]])
if (dep[top[x]] < dep[top[y]]) x ^= y ^= x ^= y;
return dep[x] < dep[y] ? x : y;
}
inline void change(int x, int y, int z) {
for (; top[x] ^ top[y]; x = fa[top[x]])
mdy(dfn[top[x]], dfn[x], z, 1, n, 1);
mdy(dfn[y], dfn[x], z, 1, n, 1);
}
inline LL query(int x, int y) {
for (ans = INF; top[x] ^ top[y]; x = fa[top[x]]) {
if (dep[top[x]] < dep[top[y]]) x ^= y ^= x ^= y;
ask(dfn[top[x]], dfn[x], 1, n, 1);
}
if (dep[x] < dep[y]) x ^= y ^= x ^= y;
ask(dfn[y], dfn[x], 1, n, 1);
return ans;
}
int main() {
n = Rd(), Ti = Rd();
for (int i = 1, u, v, w; i < n; i++) {
u = Rd(), v = Rd(), w = Rd();
Ae(u, v, w), Ae(v, u, w);
}
dfs1(1, 0), dfs2(1, 1), bui(1, n, 1);
p[++tot] = (L){ 0, INF };
for (int op, x, y, a, b, l; Ti--; ) {
op = Rd(), x = Rd(), y = Rd();
if (op == 1) {
a = Rd(), b = Rd(), l = LCA(x, y);
p[++tot] = (L){ -1ll * a, dis[x] * a + b };
change(x, l, tot);
p[++tot] = (L){ 1ll * a, (dis[x] - dis[l] * 2) * a + b };
change(y, l, tot);
} else printf("%lld\n", query(x, y));
}
}
维护凸包 & 优化 dp
咕了，不会，去学 dp 了。。。
