AtCoder ABC 250 总结
AtCoder ABC 250 总结
总体
连续若干次一样的结果：30min 切前 4 题，剩下卡在 T5
这几次卡在 T5 都是一次比一次接近，
什么 dp 前缀和打挂，精度被卡，能水过的题连水法都没写出来
确实是思维上的缺陷，毕竟 atc 全程都是紧张的
等下一场吧。。
前 4 题较易，不再赘述。
E- Prefix Equality
长度为 \(n\) 的数组 \(A,B\) ，每次询问 \(A\) 的前 \(x\) 项和 \(B\) 的前 \(y\) 项组成的集合是否相同
- 即排序、去重后判断相等
\(n,Q\le 2\times 10^5\) ， \(a_i,b_i\le 10^9\)
考场水法
机房其他大佬都这样做。
大力莫队，记录一个变量 \(now\) ，两个桶记录
若移动指针时，把数加入两个桶
若加入这个数，出现矛盾，则 \(now\leftarrow now-1\) ，若满足条件，则 \(now\leftarrow now+1\)
- 矛盾：指一个数只在一个数组中出现
对于询问，\(now=0\) 时是 Yes ，否则 No
- 若两个前缀相同，则所有位置矛盾和满足条件的贡献抵消。最终 \(now=0\)
由于不保证 \(x<y\) ，所以复杂度也无法保证。
但是，大力出奇迹。
code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long uLL;
typedef long double LD;
typedef long long LL;
typedef double db;
const int N = 4e5 + 5;
int n, a[N], b[N], c[N], le, Ti, t[N][2], Bsz, now;
bool ans[N];
struct qry { int x, y, id; } q[N];
inline bool cmp(qry A, qry B) {
if (A.x / Bsz != B.x / Bsz) return A.x / Bsz < B.x / Bsz;
if ((A.x / Bsz) & 1) return A.y < B.y;
return A.y > B.y;
}
inline void add(int x, int o) {
if (!t[x][o]) {
if (t[x][o ^ 1]) ++now;
else --now;
}
++t[x][o];
}
inline void del(int x, int o) {
--t[x][o];
if (!t[x][o]) {
if (t[x][o ^ 1]) --now;
else ++now;
}
}
inline void solve() {
int X = 0, Y = 0;
for (int i = 1, qx, qy; i <= Ti; i++) {
qx = q[i].x, qy = q[i].y;
while (X < qx) add(a[++X], 0);
while (X > qx) del(a[X--], 0);
while (Y < qy) add(b[++Y], 1);
while (Y > qy) del(b[Y--], 1);
ans[q[i].id] = (now == 0);
}
}
int main() {
scanf("%d", &n);
Bsz = sqrt(n);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]), c[++le] = a[i];
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &b[i]), c[++le] = b[i];
sort(c + 1, c + le + 1);
le = unique(c + 1, c + le + 1) - c - 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
a[i] = lower_bound(c + 1, c + le + 1, a[i]) - c;
b[i] = lower_bound(c + 1, c + le + 1, b[i]) - c;
}
scanf("%d", &Ti);
for (int i = 1; i <= Ti; i++) scanf("%d%d", &q[i].x, &q[i].y), q[i].id = i;
sort(q + 1, q + Ti + 1, cmp);
solve();
for (int i = 1; i <= Ti; i++) puts(ans[i] ? "Yes" : "No");
}
正解
part 1
首先明确（我考场也想到了）：对于每一个 \(x\)，满足条件的 \(y\) 是在一个区间 \([L_x,R_x]\) 里的。
所以考虑求 \(L_x,R_x\) 。
离散化是自然的。
接着记录 \(A\) 中元素在 \(B\) 中第一次出现位置 \(p\) ，即 \(p_{a_i}=\min\{j\mid b_j=a_i\}\)
设 \(S_i\) 为 \(A\) 前 \(i\) 项的集合，有 \(S_0=\varnothing\) 。可得
其中 \(S-T=\{a\mid a\in S,a\notin T\}\)
可以用前缀最大值、后缀最小值 \(O(n)\) 计算，\(O(1)\) 回答询问。
复杂度为离散化的复杂度 \(O(n\log n)\)
part 2
更具体地实现：记录 \(add_i\) 表示 \(A_i\) 在 \(S_i\) 中是否第一次出现
\(L_i\) 可以直接求，求 \(R_i\) 需要注意：
如果 \(B\) 中有 \(A\) 中没有的元素，若这个位置最小为 \(pos\) ，则 \(R\) 都要要小于 \(pos\)
可以记录 \(suf_i\) 为后缀最小值
从后往前扫，若 \(add_i=1\) ，则说明 \(a_i\notin S_{i-1}\) ，可用 \(p_{a_i}-1\) 更新 \(R_i\)
从前往后扫，通过 \(suf\) 数组和 \(pos\) 求出 \(R\) 数组
code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long uLL;
typedef long double LD;
typedef long long LL;
typedef double db;
const int N = 4e5 + 5;
int n, a[N], b[N], c[N], le, Ti, L[N], R[N];
int pos[N], vis[N], add[N], mn[N], tmn;
bool ans[N];
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]), c[++le] = a[i];
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &b[i]), c[++le] = b[i];
sort(c + 1, c + le + 1);
le = unique(c + 1, c + le + 1) - c - 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
a[i] = lower_bound(c + 1, c + le + 1, a[i]) - c;
b[i] = lower_bound(c + 1, c + le + 1, b[i]) - c;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) if (!pos[b[i]]) pos[b[i]] = i;
for (int i = 1; i <= n; i++) if (!pos[a[i]]) pos[a[i]] = n + 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) if (!vis[a[i]]) vis[a[i]] = 1, add[i] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
L[i] = L[i - 1];
if (add[i]) L[i] = max(L[i], pos[a[i]]);
}
mn[n + 1] = n + 1;
for (int i = n; i; i--) {
mn[i] = mn[i + 1];
if (add[i]) mn[i] = min(mn[i], pos[a[i]]);
}
tmn = n + 1;
for (int i = n; i; i--) if (!vis[b[i]]) tmn = min(tmn, i);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (!add[i]) R[i] = R[i - 1];
else R[i] = min(mn[i + 1], tmn) - 1;
}
scanf("%d", &Ti);
for (int i = 1, x, y; i <= Ti; i++) {
scanf("%d%d", &x, &y);
puts(L[x] <= y && y <= R[x] ? "Yes" : "No");
}
}
F - One Fourth
一个 \(n\) 个点的凸多边形，逆时针给出这 \(n\) 个点 \(P_i=(x_i,y_i)\) 。
设这个凸多边形面积为 \(S\) ，现在要选出两个不相邻的点，
沿两点所在直线将凸多边形切成两部分，
选出一部分，设其面积为 \(b\) ，求 \(\min 8\times|\dfrac{1}{4}S-b|\)
\(n\le 10^5\) ，\(|x_i|,|y_i|\le 4\times 10^8\)
sol
-
转换所求：\(8\times|\dfrac{1}{4}S-b|=|2S-8b|=|2S-4\times 2b|\)
-
求面积：用向量叉乘，求得两个向量所形成的平行四边形面积，
\[S=\dfrac{1}{2}\sum_{i=2}^N\overrightarrow{P_1P_{i-1}}\times\overrightarrow{P_1 P_i} \] -
凸多边形是一个环，此处定义点 \(N+i\) 为点 \(i\) ，即破环成链
-
\(O(n^2)\) ：很显然对于 \(p\) 枚举 \(q=(p+1),(p+2),\cdots,(p+N-2)\) ，
每次直接加上 \(p,q,(q+1)\) 围成的三角形的面积，可以做到 \(n^2\)
-
\(O(n)\) ：用到双指针：对于每个 \(p\) ，若当前面积 \(now<\dfrac{S}{4}\) ，则 \(q\) 一直加，加上 \(p,q,(q+1)\) 的面积
然后 \(p\) 后移，减去 \(p,(p+1),q\) 的面积。
-
实现时：可以不用真的破环成链。由于转换，求面积时的 \(\dfrac{1}{2}\) 都可以消掉
code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long uLL;
typedef long double LD;
typedef long long LL;
typedef double db;
const int N = 1e5 + 5;
int n;
struct P {
LL x, y;
P(LL _x = 0, LL _y = 0) : x(_x), y(_y) { }
P operator + (P A) { return P(x + A.x, y + A.y); }
P operator - (P A) { return P(x - A.x, y - A.y); }
} a[N];
LL sm, ans = 9e18, nw;
inline LL mul(P A, P B) { return A.x * B.y - A.y * B.x; }
// A is origin
// vector AB and AC
inline LL area(P A, P B, P C) { return abs(mul(B - A, C - A)); }
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld%lld", &a[i].x, &a[i].y);
for (int i = 3; i <= n; i++) sm += area(a[1], a[i - 1], a[i]);
for (int i = 1, j = 2; i <= n; i++) {
while (4 * nw < sm) {
nw += area(a[i], a[j], a[j % n + 1]);
j = j % n + 1;
ans = min(ans, abs(sm - 4 * nw));
}
nw -= area(a[j], a[i], a[i % n + 1]);
ans = min(ans, abs(sm - 4 * nw));
}
printf("%lld", ans);
}
G - Stonks
作 \(n\) 天股票交易，初始有无限钱，第 \(i\) 天股票价格为 \(P_i\) ，一天进行以下操作之一
- 买进股票，花费 \(P_i\) 元
- 卖出股票，增加 \(P_i\)
- 什么也不做
求最大利润
\(n\le 2\times 10^5\)
sol
反悔贪心，思路巧妙
遇到当前价格高于最低股票价时就卖掉，
如果之后有一个更高价格的呢，就买入此时卖出的，达到反悔的效果
即对于 \(a<b<c\) ，以 \(a\) 的价格买入，以 \(b\) 的价格贪心卖出，再以 \(b\) 的价格买入，\(c\) 的价格卖出
就相当于 \(a\) 的价格买入， \(c\) 的价格卖出，实现了反悔
用优先队列实现
code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long uLL;
typedef long double LD;
typedef long long LL;
typedef double db;
const int N = 2e5 + 5;
int n;
LL a[N], ans;
priority_queue<LL, vector<LL>, greater<LL> > Q;
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
Q.push(a[1]);
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (Q.top() < a[i]) {
ans += a[i] - Q.top();
Q.pop(), Q.push(a[i]);
}
Q.push(a[i]);
}
printf("%lld", ans);
}
Ex - Trespassing Takahashi
\(n\) 点 \(m\) 边的无向图，点 \(1,2,\cdots,K\) 为房子，第 \(i\) 条边连接 \(a_i,b_i\) ，通过时间为 \(c_i\)
保证原图是联通的，无重边、自环
\(Q\) 次询问，第 \(i\) 次询问 \(x_i,y_i,t_i\) ，问能否从房子 \(x_i\) 到房子 \(y_i\) ，移动过程中离开房子的时间不能大于 \(t_i\)
\(K\le n\le 2\times 10^5\) ，\(Q,m\le 2\times 10^5\) ， \(1\le t_1\le\cdots\le t_Q\le 10^{15}\) ， \(c_i\le 10^9\)
sol
另 \(d_i\) 为从点 \(i\) 到最近的房子的距离，对每条边，另 \(c'_i=c_i+d_{a_i}+d_{b_i}\)
结论：答案为 Yes 当且仅当只用 \(c'_i\le t\) 的边能从 \(x\) 到 \(y\)
证明如下：
首先，\(c'_i\) 表示必须经过边 \(i\) 从一个房子到另一个房子的最短距离
如果不能只用 \(c'_i\le t\) 的边从房子 \(x\) 到房子 \(y\) ，答案是否定的
另外，如果可以只用满足 \(c'_i\le t\) 的路径从 \(x\) 到 \(y\)
若 \(p_1,\cdots,p_k\) 为 \(x\) 到 \(y\) 路径上的点，考虑路径
\[p_1,(\text{Nearest house from }p_1),p_1, p_2,(\text{Nearest house from }p_2),p_2,\cdots,p_k \]其中
\[(\text{Nearest house from }p_i),p_i, p_{i+1},(\text{Nearest house from }p_{i+1}) \]之间的长度等于连接 \(p_i,p_{i+1}\) 的 \(c'\) 边，是满足条件的。
所以这次询问的答案是
Yes
\(d_i\) 可以用有 \(K\) 个起点的 dijkstra 在 \(O(n\log n)\) 的时间复杂度内解决。
由于 \(t\) 单调不减，将所有 \(c'_i\) 排序，每次将满足 \(c'_i\le t\) 的边加入 DSU ，判断 \(x,y\) 是否联通即可
code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long uLL;
typedef long double LD;
typedef long long LL;
typedef double db;
const int N = 2e5 + 5;
int n, m, lst[N], Ecnt, K, ff[N], vis[N], Ti;
LL dis[N];
struct Ed { int to, nxt; LL qz; } e[N << 1];
struct Edge { int u, v; LL w; } ed[N];
inline void Ae(int fr, int go, int vl) {
e[++Ecnt] = (Ed){ go, lst[fr], 1ll * vl }, lst[fr] = Ecnt;
}
int fd(int x) { return ff[x] == x ? x : ff[x] = fd(ff[x]); }
priority_queue< pair<LL, int> > Q;
inline bool cmp(Edge A, Edge B) {
return A.w < B.w;
}
int main() {
scanf("%d%d%d", &n, &m, &K);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dis[i] = 1e16;
ff[i] = i;
}
for (int i = 1, u, v, w; i <= m; i++) {
scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
Ae(u, v, w), Ae(v, u, w);
ed[i].u = u, ed[i].v = v, ed[i].w = w;
}
for (int i = 1; i <= K; i++) {
dis[i] = 0;
Q.push(make_pair(0, i));
}
while (!Q.empty()) {
register int u = Q.top().second;
Q.pop();
if (vis[u]) continue;
vis[u] = 1;
for (int i = lst[u], v; i; i = e[i].nxt)
if (dis[u] + e[i].qz < dis[v = e[i].to]) {
dis[v] = dis[u] + e[i].qz;
Q.push(make_pair(-dis[v], v));
}
}
for (int i = 1; i <= m; i++) ed[i].w += dis[ed[i].u] + dis[ed[i].v];
sort(ed + 1, ed + m + 1, cmp);
scanf("%d", &Ti);
for (int x, y, p, q, i = 1; Ti--; ) {
register LL t;
scanf("%d%d%lld", &x, &y, &t);
while (i <= m && ed[i].w <= t) {
p = fd(ed[i].u), q = fd(ed[i].v);
if (p ^ q) ff[p] = q;
i++;
}
puts(fd(x) == fd(y) ? "Yes" : "No");
}
}
