Pollard Rho 总结
Upd
这是我很久以前写的，其实当时也是感性理解，现在修改，希望能加深理解。
至于原来的，算了，不删了。
作用：大整数质因数分解
暴力太慢了，于是有大佬发明了这个
Gcd
一个合数一定有一个质因子小于\(\sqrt{n}\)，所以 n 至少存在\(\sqrt{n}\)个数与 n 有大于 1 的公约数
随机生成
\(x=rand(),c=rand()\) 随机生成一对数，然后\(y=x,x=x^2+c,g=\gcd(|y-x|,n)\) 经过测试发现 \(g>1\) 的概率接近 \(n^{\frac{1}{4}}\)
具体好像是生日悖论，本蒟蒻不懂。
判环
注意可能会出现环，即出现出现了的数，所以需要判定
用倍增思想，y 现记下 x 的位置，然后 x 跑当前次数一倍的次数。
跑完了之后 y 再记下 x 的位置，次数再翻倍，当 x 等于 y 时，遇到环了
优化
这样应该会 TLE ，经过观察会发现 Gcd 带的 log 很拖时间
若\(|y-x|\)有和 n 的公约数，那么若干个\(|y-x|\)乘在一起并取余 n 也有和 n 的公约数
可以用 z 来累计\(|y-x|\)的乘积，过 127 次在来 Gcd
至于为什么是 127 次，，玄学
注意
- 可能不用 127 次就遇到环了，由于上面打了倍增，可以再生成了许多次时判环。
- z 为 0 时没必要继续
分解
- 若 n 时质数（用 Miller-Rabin ），直接返回
- Pollard Rho 求出一个非平凡因子
- 把非平凡因子消掉，继续分解
Code
Luogu P4718
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef long double LD;
inline LL Abs(LL x) { return x<0?-x:x; }
inline LL Mul(uLL x,uLL y,LL p) { return (x*y-(uLL)((LD)x/p*y)*p+p)%p; }
inline LL Pow(LL x,LL y,LL p){
register LL res=1;
for(;y;y>>=1,x=Mul(x,x,p))
if(y&1)res=Mul(res,x,p);
return res;
}
inline bool Mr(LL n,LL p) {
if(Pow(p,n-1,n)!=1)return 0;
register LL q=n-1,o;
while(!(q&1)) {
q>>=1,o=Pow(p,q,n);
if(o!=1 && o!=n-1)return 0;
if(o==n-1)return 1;
}
return 1;
}
inline bool Prime(LL n) {
if(n<2)return false;
if(n==2||n==3||n==5||n==7||n==43)return true;
return Mr(n,2)&&Mr(n,3)&&Mr(n,5)&&Mr(n,7)&&Mr(n,43);
}
inline LL Gcd(LL x,LL y) {
return y?Gcd(y,x%y):x;
}
inline LL Rho(LL n) {
LL x,y,z,c,g;
register int p,q;
for(;;) {
x=y=rand()%n,c=rand()%n;
p=0,q=z=1;
while(++p) {
x=(Mul(x,x,n)+c)%n;
z=Mul(z,Abs(y-x),n);
if(x==y || !z)break;
if(!(p%127) || p==q) {
g=Gcd(z,n);
if(g>1)return g;
if(p==q)q<<=1,y=x;
}
}
}
}
LL ans;
inline void Dfs(LL n) {
if(n<=ans)return;
if(Prime(n)) { ans=n; return; }
LL p=Rho(n);
while(n%p==0)n/=p;
Dfs(p),Dfs(n);
}
int main() {
srand(20080816);
LL n,T;
scanf("%lld",&T);
while(T--) {
scanf("%lld",&n);
ans=0;Dfs(n);
if(ans==n)puts("Prime");
else printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
重写版本
生日悖论
23 人的班级，就有 50% 以上的概率，存在两个人生日相同。
证明：设 \(P_n\) 表示选 \(n\) 个人，不存在两人生日相同的概率。
由均值不等式：
所以
由泰勒展开的一个不等式： \(e^{-x}>1-x\)
当 \(n=23\) 时， \(P_n<0.5\) ，所以两个人生日相同的概率超过了 \(50\%\)
扩展
从 \(n\) 个数中选出 \(k\) 个，存在两个数相等的概率，当 \(k\) 接近 \(\sqrt{n\times\ln 2}\) 时就接近 \(50\%\) 了
两个数相等，可以看成差为 0
进一步，从 \(n\) 个数中选出 \(k\) 个，存在两个数的差是 \(n\) 的因子的概率，当 \(k\) 接近 \(\sqrt{n\times\ln 2}\) 时接近 \(50\%\)
有了生日悖论，本算法的正确性得到保证
随机选取
选取 \(k\) 个数 \(x_1,x_2,\cdots,x_k\)
如果朴素地选取 \(x_i-x_j\) 能够整除 \(n\) ，期望 \(\sqrt n\) 个数，同时又需要枚举判断。复杂度不理想。
现在有一个方法：判断是否存在 \(\gcd(|x_i-x_j|,n)>1\) 的情况，如果有则 \(\gcd(|x_i-x_j|,n)\) 是一个 \(n\) 的因子
这样只需选取 \(n^{\frac{1}{4}}\) 个数。
储存、判断成了问题。
pollard rho
pollard rho 只将两个数保存，每次检查连续的两个数。
此处有一个神奇的伪随机函数
\(a\) 为常数。
用 \(f(x)\) 生成序列 \(\{x_i\}\) ，规则是 \(x_1=\text{rand}(),x_{i+1}=f(x_i)\)
判环
注意：\(f(x)\) 是伪随机函数，因为在模 \(n\) 意义下，会出现环
采用 floyd 判环，让 \(x,y\) 来走，\(y\) 速度是 \(x\) 的两倍，当 \(y\) 第一次追上 \(x\) 就至少走了 1 圈。
得到了一个基于判环的代码
inline LL Rho(LL n) {
LL x, y, c, g;
for (;;) {
x = y = rand(), c = rand();
y = (Mul(y, y, n) + c) % n;
while (x ^ y) {
g = Gcd(Abs(x - y), n);
if (g > 1) return g;
x = (Mul(x, x, n) + c) % n;
y = (Mul(y, y, n) + c) % n;
y = (Mul(y, y, n) + c) % n;
// y goes double faster
}
}
}
优化
板子题都过不了！？（数据太强了）
\(\gcd\) 是带一个 \(\log\) 的，此优化减少 \(\gcd\) 的次数。
如果 \(\gcd(a,b)>1\) 由欧几里德算法，\(\gcd(a,b)=\gcd(ac,b)>1\) ，其中 \(c\in\mathbb{N}^+\)
更进一步， \(\gcd(a,b)=\gcd(ac\mod b,b)>1\)
可以将所有的 \(|x-y|\) 在模 \(n\) 意义下乘起来，再求 \(\gcd\) ，需要适当地选取相乘次数。
倍增
在路径上倍增地选择一段 \([2^{k-1},2^k]\) 的区间。
\(\gcd\) 取的是 \(\forall i\in[2^{k-1},2^k],|x_i-x_l|\) ，一次就有 \(2^{k-1}\) 个累积，倍增一定程度上优化了复杂度
至于上界，经过实验，\(127=2^7-1\) 是较优的选择
inline LL Rho(LL n) {
LL x,y,z,c,g;
register int p,q;
for(;;) {
x=y=rand()%n,c=rand()%n;
p=0,q=z=1;
while(++p) {
x=(Mul(x,x,n)+c)%n;
z=Mul(z,Abs(y-x),n);
if(x==y || !z)break;
if(!(p%127) || p==q) {
g=Gcd(z,n);
if(g>1)return g;
if(p==q)q<<=1,y=x;
}
}
}
}
完整代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef long double LD;
inline LL Abs(LL x) { return x<0?-x:x; }
inline LL Mul(uLL x,uLL y,LL p) { return (x*y-(uLL)((LD)x/p*y)*p+p)%p; }
inline LL Pow(LL x,LL y,LL p){
register LL res=1;
for(;y;y>>=1,x=Mul(x,x,p))
if(y&1)res=Mul(res,x,p);
return res;
}
inline bool Mr(LL n,LL p) {
if(Pow(p,n-1,n)!=1)return 0;
register LL q=n-1,o;
while(!(q&1)) {
q>>=1,o=Pow(p,q,n);
if(o!=1 && o!=n-1)return 0;
if(o==n-1)return 1;
}
return 1;
}
inline bool Prime(LL n) {
if(n<2)return false;
if(n==2||n==3||n==5||n==7||n==43)return true;
return Mr(n,2)&&Mr(n,3)&&Mr(n,5)&&Mr(n,7)&&Mr(n,43);
}
inline LL Gcd(LL x,LL y) {
return y?Gcd(y,x%y):x;
}
// inline LL Rho(LL n) {
// LL x, y, c, g;
// for (;;) {
// x = y = rand(), c = rand();
// y = (Mul(y, y, n) + c) % n;
// while (x ^ y) {
// g = Gcd(Abs(x - y), n);
// if (g > 1) return g;
// x = (Mul(x, x, n) + c) % n;
// y = (Mul(y, y, n) + c) % n;
// y = (Mul(y, y, n) + c) % n;
// }
// }
// }
inline LL Rho(LL n) {
LL x,y,z,c,g;
register int p,q;
for(;;) {
x=y=rand()%n,c=rand()%n;
p=0,q=z=1;
while(++p) {
x=(Mul(x,x,n)+c)%n;
z=Mul(z,Abs(y-x),n);
if(x==y || !z)break;
if(!(p%127) || p==q) {
g=Gcd(z,n);
if(g>1)return g;
if(p==q)q<<=1,y=x;
}
}
}
}
LL ans;
inline void Dfs(LL n) {
if(n<=ans)return;
if(Prime(n)) { ans=n; return; }
LL p=Rho(n);
while(n%p==0)n/=p;
Dfs(p),Dfs(n);
}
int main() {
srand(time(0));
LL n,T;
scanf("%lld",&T);
while(T--) {
scanf("%lld",&n);
ans=0;Dfs(n);
if(ans==n)puts("Prime");
else printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号