梅森素数与完全数

所谓梅森素，是指形如$2^p-1$的数，其中$p\in prime, 常记为M_p。如果梅森素为素数，就成为梅森素数$

对于形如$\ a^{n}-1(n\geqslant{2})\ $的素数，当且仅当$\ a=2\ $时才可能存在。因为$\ a^{n}-1\ $总能够被$\ a-1\ $整除，除非$\ a-1=1\ $不然$\ a^{n}-1\ $就是合数。

$$\because x^{n}-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x^{2}+x+1)$$

逆否命题：如果对整数$\ a \geqslant 2\ $与$\ n\geqslant 2\ $，$\ a^n-1\ $是素数，则$\ a=2\ , n\in prime$。

 $2^{p}-1$为素数中满足的数 $p=2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3217,4253,4423,9689,9941\cdots$。

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完全数：一个数的各个真因素之和等于自身的数，如6=1+2+3，28=1+2+4+7+14。

欧几里得完全数公式：如果$2^{p}-1$是素数，则$2^{p-1}(2^{p}-1)$是完全数。

$$\begin{align*} \because &2^{p}-1为素数\\ \therefore &q=2^{p-1}(2^{p}-1)的真因数为：1,2,4,\cdots,2^{p-1} 与 q,2q,4q,\cdots,2^{p-2}q\\ \because &1+x+x^{2}+\cdots+x^{n-1}=\frac{x^{n}-1}{x-1}\\ \therefore &真因数之和=\frac{2^{p}-1}{2-1} + q(\frac{2^{p-1}-1}{2-1})\\&\qquad\qquad=q + q(2^{p-1}-1)\\&\qquad\qquad=2^{p-1}q\end{align*}$$

以下用$\sigma(n)$表示1~n的所有因数之和，下面是一些它的性质。

$\ \cdot \sigma(mn) = \sigma(m)*\sigma(n) \quad 当\gcd (n,m)=1$  

$\ \cdot \sigma(p^{k})=1+p+p^{2}+\cdots+p^{k}=\frac{p^{k+1}-1}{p-1}$

欧拉完全数定理：如果$n$是偶完全数，则$\ n=2^{p-1}(2^{p}-1)\ $其中$\ 2^p-1\ $是梅森素数。

假设$n$是偶完全数，则$n=2^km, k\geqslant1且m是奇数$。

$$\begin{align*}\sigma(n)&=\sigma(2^km)\\&=\sigma(2^k)\sigma(m)\\&=(2^{k+1}-1)\sigma(m)\\ 而\sigma(n)&=n+n=2n\\&=2^{k+1}m\\ \therefore 2^{k+1}m &=(2^{k+1}-1)\sigma(m)\end{align*}$$

$$\therefore 2^{k+1}整除 \sigma(m) , 设\sigma(m) = 2^{k+1}c, 并带入上面的等式\\ 得到 2^{k+1}m=(2^{k+1}-1)2^{k+1}c \\ 化简得 m=(2^{k+1}-1)c\\ 假设c > 1, 则m至少有3个因数1, c, n\\ \sigma(m) = 2^{k+1}c \geqslant 1+c+m = 1+c+(2^{k+1}-1)c\\ 化简得 2^{k+1}c\geqslant 2^{k+1}c + 1, 即0\geq 1\\ 因此c = 1, 即m=(2^{k+1}-1), \sigma(m) = 2^{k+1} = 1+m(m为素数)\\ n = 2^k(2^{k+1}-1), 2^{k+1}-1为素数\Rightarrow k+1为素数\\ \therefore 当n为偶完全数时\ n=2^{p-1}(2^p-1),其中\ 2^p-1\ 是梅森素数$$

但直到今天，对于奇完全数，还没有人发现。