柯言

摘要： 1、$f(x)=(1-x^{2})e^{x}$，当x≥0时，f(x)≤ax+1恒成立，求a的取值范围 ${\color{Teal}{法一:分离参数}}$ $$f(x)≤ax+1$$ $$(1-x^{2})e^{x}≤ax+1$$ 即 $$a≥\frac{(1-x^{2})e^{x}-1}{x}$$ 阅读全文

摘要： 设函数$f(x)=x^{2}-1$，对任意的$x∈[\frac{3}{2},+∞)$ $f(\frac{x}{m})-4m^{2}f(x)≤f(x-1)+4f(m)$恒成立 则m的取值范围 阅读全文

摘要： Putnam试题 For any positive integer n let denote the closest integer to $\sqrt{n}$，Evaluate $$\sum_{n=1}^{∞}\frac{2^{<n>}+2^{-<n>}}{2^{n}}$$ Solution: S 阅读全文

摘要： 已知$f(x)=lnx-ax$ (1)求$f(x)$的单调区间 (2)已知$f(x)$有2个零点$x_{1}、x_{2}$证明:$\frac{1}{lnx_{1}}+\frac{1}{lnx_{2}}≥2$ $\textbf{解}$ (1)$f(x)$定义域为$(0，+∞)$ 当$a=0$时，$f( 阅读全文

摘要： ${\color{Teal} {Ceva定理}}$设$D、E、F$依次为三角形ABC的边$AB、BC、CA$的内点，记 $λ$=(A,B,D),$μ$=(B,C,E),$v$=(C,A,F) 求证:三条线段$AE、BF、CD$交于一点的充要条件是$λμv$=1 $\textbf{法一(向量法)}$ 阅读全文

摘要： $\textbf{全微分方程}$ ${\color{Teal}{定义}}如果方程$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$ 的左端恰好是某个二元函数$u(x,y)$的全微分，即 $$M(x,y)dx+N(x,y)dy≡du(x,y)$$ 则方程为全微分方程，$u(x,y)$称为方程的一个原函数 阅读全文

摘要： 形如:$$\frac{dy}{dx}=P(x)y^{2}+Q(x)y+R(x)$$ 其中P(x)、Q(x)、R(x)是连续可微函数 或形如 $$\frac{dy}{dx}=ay^{2}+\frac{k}{x}y+\frac{c}{x^{m}}$$ 其中a、k、c、m为常数 一般情况下，Riccati 阅读全文

摘要： n阶常系数非齐次线性微分方程： $$ y ^ { ( n ) } + p _ { 1 } y ^ { ( n - 1 ) } + p _ { 2 } y ^ { ( n - 2 ) } + .... + p _ { n - 1 } y ^ { \prime } + p _ { n } y = f ( 阅读全文