任我行信息学奥赛一本通-第二本：备战CSP-J-总第九章：CSP-J初赛篇-2.9.2-二进制、进制转换与位运算

1.二进制

• 本质理解：
  • 二进制是计算机最基本的语言，因为电子元器件最容易实现两种稳定状态（开/关、高电压/低电压）。
  • 每一位二进制数称为一个"比特"(bit)，这是信息的最小单位。

每一个二进制位都代表着\(2的幂\)。

• 举一个栗子：\((1011)_2\)
  • 最末位的\(1\)代表\(2^0\)，也就是\(1\)
  • 倒数第二位的\(1\)代表\(2^1\)，也就是\(2\)
  • 第二位的\(0\)代表\(0\)个\(2^2\)，也就是\(0\)
  • 第一位的\(1\)代表\(2^3\)，也就是\(8\)
  • 那么\(1011\)代表的就是\(1 \ + \ 2 \ + \ 0 \ + \ 8 \ = \ 11\)

这种栗子用到的方法叫做位权

总结来说，就是按位相加。

位权：\(R\)进制转成十进制，结果就是求\(\sum_{i \ = \ 0}^{位数 \ - \ 1} \ a_i \times R^i\)。

这就是\(R\)转十的原理。

• 上节课太枯燥了，这节课我们再来看一个栗子：\((-1011)_2\)

  • 你会说，怎么有负数啊，怎么转换？
  • 直接去除符号位计算整数位，再加符号
  • \(2^{-0} \ + \ 2^{-1} \ + \ 2^{-3} \ = \ -11\)

当你解决完这颗栗子时······

• \((1011.1011)_2\)来凑热闹了
  • 啊，小数，别急，尝试可以用位权来做吗
  • 可以乘\(2^{-0}\)、\(2^{-1}\)、\(2^{-2}\)、\(2^{-3}\)吗？
  • 当然可以，因为小数也是在分割\(1\)
  • 小数部分从左往右（小数点后第一位开始），每一位乘以\(2^{-n}\)（\(n\) 为该位的位置索引，从\(1\)开始），再求和。
  • 小数点后第\(1\)位：\(1 × (2^{-1}) = 1 × 0.5 = 0.5\)
  • 小数点后第\(2\)位：\(0 × (2^{-2}) = 0 × 0.25 = 0\)
  • 小数点后第\(3\)位：\(1 × (2^{-3}) = 1 × 0.125 = 0.125\)
  • 小数点后第\(4\)位：\(1 × (2^{-4}) = 1 × 0.0625 = 0.0625\)
  • \(0.5 + 0 + 0.125 + 0.0625 = 0.6875\)
  • \(11 \ + \ 0.6875 = 11.6875\)

到这里\(R\)转十就学完了。

十转\(R\)

这时，被你看透真相的二进制又来挑性，你能把十进制伙伴转会二进制吗？

• 这还是那颗一模一样的栗子\((11)_{10}\)

  

  • 看我请来短除法大军