【做题记录】CF1687E

神妙构造题。

首先结果一定是长成 \(\gcd\) 的模样的，于是前置知识一是扩展 Min-Max 容斥，把 \(\gcd\) 用 \(\operatorname{lcm}\) 表示。

\[\gcd\{S\} = \prod _{T \subseteq S} \operatorname{lcm}\{T\} ^{(-1)^{\vert T \vert + 1}} \]

然后用类似的思想考虑 \(ANS=\gcd_{i \not = j}\{ A_i \times A_j \}\) ，发现有 \(ANS=\gcd^2\{S\} \prod_{i=1}^n \frac{\gcd\{S / A_i\}}{\gcd\{S\}}\) 。

显然直接做是非常劣的。如何优化？
看到 \(\gcd\) 应当想到质因数，由于一个数的质因数个数至多为 \(8\) ，那么在一个集合的 \(\gcd\) 不变前提下压缩集合一定也是可以压缩至 \(\le 8\) 元素。
与此同时， \(\frac{\gcd\{S / A_i\}}{\gcd\{S\}} \not = 1\) 的 \(i\) 也至多只有 \(8\) 个，就是那些独自拥有最小指数的 \(A_i\) 。

优化完毕，表现优秀。