杂题选做

Juggler’s Trick

题意：一个包含 R ,B , W 的序列，W 可以选择变成 R 或 B ，每次可以删除一个包含 \(r\) 个 R ，\(b\) 个 B 的连续段，并将前后相连。问最多删多少次。

Solution：
结论：如果一个长度为 \(k(r+b)\) 的区间内有 \(kr\) 个 R 和 \(kb\) 个 B ，那么这个区间一定可以被 \(k\) 次删完。
只需证明每个符合条件的区间内都有一个可删的区间即可。
维护每个点往前 \((r+b)\) 个格子内 B 的数量 \(S_i\)，如果不存在可删的区间就一定没有 \(S_i=b\) ，由于 \(S_i\) 是连续的，而 $\forall i , S_i<b $ 会使总个数小于 \(kb\) ，反之 \(\forall i , S_i > b\) 会使总个数大于 \(kb\) 。

利用这个结论可以得到一个朴素的 \(O(n^2)\) DP，考虑优化。
记 B 和 W 个数的前缀和分别为 \(S_i , F_i\) ，则有转移条件为

\[\begin{cases} S_r - S_{l-1} + F_r - F_{l-1} &\ge (r-l+1)\frac{B}{R+B} \\ S_r - S_{l-1} &\le (r-l+1)\frac{B}{R+B} \end{cases} \]

改写一下变成

\[\begin{cases} S_{l-1}+F_{l-1}-(l-1)\frac{B}{R+B} &\le S_r + F_r - r \cdot \frac{B}{R+B} \\ S_{l-1} - (l-1) \frac{B}{R+B} &\le S_r - r \cdot \frac{B}{R+B} \end{cases} \]

等号两侧的式子分别只跟 \(l-1\) 和 \(r\) 有关系。
发现这是偏序关系的，可以用 CDQ，三维偏序的做法优化转移。

注意还有一种转移是 \(f_{i} \rightarrow f_{i+1}\) ，具体实现在每次 \(\operatorname{solve}(l,mid)\) 后先完成转移，有 \(f_{mid+1} \leftarrow f_{mid}\) ，最后再 \(\operatorname{solve}(mid+1,r)\) 。