「四边形不等式优化」学习笔记

「四边形不等式优化」学习笔记

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定义

区间包含单调性 ：如果 $ \forall l \le l' \le r' \le r $ ，都有 \(w(l',r')\le w(l,r)\) ，那么称函数 \(w\) 对于区间包含关系具有单调性。

四边形不等式 ： 如果 $ \forall l_1 \le l_2 \le r_1 \le r_2 $ ，都有 \(w(l_1,r_1) + w(l_2,r_2) \le w(l_1,r_2) + w(l_2,r_1)\) ，那么称函数 \(w\) 满足四边形不等式，（等号永远取等则成为四边形恒等式）。

区间DP（2D1D）

转移式形如：

\[\large f_{l,r}= \min_{k=l}^{k<r} \left( f_{l,k} + f_{k+1,r} \right) + w(l,r) \]

一些定理

引理1 ：如果 \(w(l,r)\) 满足区间包含单调性且四边形不等式，那么 \(f_{l,r}\) 也满足四边形不等式。

证明：

对 \(r_2 - l_1\) 的长度使用归纳法， \(l_1 = l_2\) 或 \(r_1 = r_2\) 时显然成立。

设 \(u\) 为 \(f_{l_1,r_2}\) 的最小最优决策点， \(v\) 为 \(f_{l_2,r_1}\) 的最小最优决策点。

发现当 \(l_2=r_1\)​ 时 \(v\) 是没有意义的，所以提出来特别考虑。

如果 \(l_1 < l_2 = r_1 < r_2\)​ ，那么

​ 如果 \(u < r_1\)​ ，则

\[\large f_{l_1,r_1} \le f_{l_1,u} + f_{u+1,r_1} + w(l_1,r_1)\\ \large \text{又由归纳假设 } f_{u+1,r_1} + f_{l_2,r_2} \le f_{u+1,r_2} + f_{l_2,r_1} \\ \large \text{且 } w(l_1,r_1) \le w(l_1,r_2) \\ \large \text{所以有 } f_{l_1,r_1} + f_{l_2,r_2} \le f_{l_2,r_1} + f_{l_1,u} + f_{u+1,r_2} + w(l_1,r_2)\\ \large = f_{l_2,r_1} + f_{l_1,r_2} \]

​ 如果 \(r_1 \le u\) ，同理。

如果 \(l_1 < l_2 < r_1 < r_2\) ，就不需要用到「区间包含单调性」这一条件了，证明类似。

定理1 ： 如果 \(f_{l,r}\) 满足四边形不等式，设 \(g_{l,r}\) 为 \(f_{l,r}\) 的最小最优决策点，那么有

\[\large g_{l,r-1} \le g_{l,r} \le g_{l+1,r} (l+1<r) \]

设 \(k_1 = g_{l,r-1}\) ， \(k_2 = g_{l+1,r}\) ，\(u=g_{l,r}\) ，

以下进行分讨，如果 \(u < k_1\) ，则有 \(u + 1 \le k_1 + 1 \le r-1 \le r\) 。
所以：

\[\large f_{u+1,r-1} + f_{k_1 + 1,r} \le f_{u+1,r} + f_{k_1+1,r-1}\\ \large \text{又有 ， } f_{l,u} + f_{u+1,r} \le f_{l,k_1} + f_{k_1 + 1 , r}\\ \large \text{相加得：} f_{l,u} + f_{u+1,r-1} \le f_{l,k_1} + f{k_1+1,r-1}\\ \]

这说明 \(u\) 比 \(k_1+1\) 对 \(f_{l,r-1}\) 的贡献更优，与题设矛盾。

\(k_2<u\) 的情况类似，故不再赘述。

另一形式的区间 DP

\[\large f_{i,j} = \min_{k=1}^{j-1} \left\{ f_{i-1,k} + w(j,k) \right\} \]

有

\[\large g_{i,j-1} \le g_{i,j} \le g_{i+1,j} \]

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到此，区间 DP 的四边形不等式优化已经讲解完毕，以下其他形式的四边形不等式优化也十分类似，不再书写证明。

1D1D 动态规划

形如 \(f_i = \min_{j=1}^{i-1}\left\{ f_{j} + w(i,j) \right\}\) 。

实际上跟前一个式子长得几乎一模一样，区别在于前者固定了层数，而这个没有。

定理

这个形式就比较简单了。

\[\large g_{i-1} \le g_{i} \]

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然而我们发现，后两个优化都需要前后的 \(g\) 来限定范围，没有一定优先的 DP 顺序，而第一个优化可以以长度为优先级进行 DP 。
第一个优化可以令所有点在同一层中被遍历的次数是 \(O(n)\) 的，总复杂度被优化至 \(O(n^2)\)。

对于后两个优化，我们尽量让每个点在进行 DP 的时候有上下界以避免不必要的计算，首先肯定可以想到分治，每层会将当前的决策区间期望减半，于是总复杂度就是 \(O(n \log n)\) 的。