LCA 最近公共祖先

LCA 最近公共祖先

定义

给定一颗有根数，若节点\(z\)既是节点\(x\)的祖先，也是节点\(y\)的祖先，则称\(z\)是\(x\)和\(y\)的公共祖先。在\(x\)、\(y\)的所有公共祖先中，深度最大的一个称为\(x\)，\(y\)的最近公共祖先，记为\(LCA(x,y)\)

如上图中，\(LCA(6,8)=1\),\(LCA(8,9)=4\),\(LCA(7,8)=7\)

算法

求\(LCA\)有三种算法：

1. 向上标记法
2. 树上倍增法
3. Tarjan算法

向上标记法

从\(x\)向上走到根节点，并标记所有经过的节点
从\(y\)向上走到根节点，当第一次遇到已标记的节点时，就找到了\(LCA(x,y)\)
对于每个询问，向上标记法的时间复杂度最坏为$ \Theta(n) $，但该算法常数大，面对大量询问时易TLE，在算法竞赛中运用较少。

树上倍增法

节点表示

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祖先

设\(F[x,k]\)为\(x\)的距离为\(2^k\)的祖先编号，如在上图中 \(F[8,0]=7 F[8,1]=4\) ,特殊的，若 \(F[x,k]\) 不存在，则令 \(F[x,k]=0\) ,例如 \(F[8,2]=0\)

深度

令\(d[x]\)表示节点\(x\)的深度

求LCA

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求\(LCA(x,y)\)

1. 不妨设 \(d[x]\ge d[y]\) (否则交换\(x\)与\(y\))，
2. 寻找一个\(k\),使其满足 \(d[F[x,k]]\le d[y]\) 且\(k\)最大。
   此时令 \(x=F[x,k]\) ,让\(x\)不断向上走,直到 \(d[x]=d[y]\) ，即\(x\)与\(y\)深度相等,进行第三步。
3. 如果 \(x=y\) 即\(y\)是\(x\)祖先，如上图中\(LCA(7,8)=7\)，此时便找到了\(LCA(x,y)=x\)
4. 寻找一个\(k\),使其满足 \(d[F[x,k]] = d[F[y,k]] F[x,k] \ne F[y,k]\) 且\(k\)最大。
   重复此步直到寻找不到这样的\(k\)
   这一步在不断地将\(x\)与\(y\)向上走，保持深度一致，但不相遇（即不相等）,走到不能再向上走为止
5. 此时\(LCA(x,y)\)就是\(F[x,0]\)

Tarjan法

留白