码-线性码

1.定义

若C是F_qⁿ的一个线性子空间，则称C是一个线性码。

既然是线性子空间的话，一定有维数，例如C的维数是k，上一章引进的量中码字个数K=q^k

上一章引进的量中（n，K，d），   码字个数K，最小距离d

现在引进线性码[n，k，d]，码长n，码的维数k，最小距离d

 

2.线性码的最小距

d(C) = min d_H(x，y) = min W₊(x-y) = min { W_t(C) }【 C ≠ 0】   

【第一个等号是汉明码的定义，其中x≠y且x,y∈C】

【第二个等号是：因为它是线性子空间，那么在内部对加法算术是封闭的，x和y跑遍了C，那么x-y也跑遍了C】

【第三个等号：线性码里面肯定有一个零码字，因为是线性子空间；线性码的最小距离 是 所有非零码字 取最小值】

 

3.码的生成矩阵

C是一个线性子空间，设C在F_q上的一组基为 {α₁，α₂，...，α_n}，α₁ ~ α_n 都是长度为n的F_q上的行向量

        α1                  α11    α12     .....     α1n
        α2                  α21    α22     .....     α2n
G = (   ...   )    =   (    α31    α12     .....     α1n     )
        αn-1                ...    ...     .....     ...
        αn                  αk1    αk2     .....     αkn   
                 

 G 称为C的一个生成矩阵

C的生成阵不止一个：因为只是取了C的一组基，而线性子空间的基并不唯一，所以应该有很多个生成矩阵。

C中的码字是这些基的一个线性组合，即∀c ∈ C，c = x · (α₁，α₂，... ，α_k)^T   =   （x₁，x₂，... ， x_n）· (α₁，α₂，... ，α_k)^T     =     x₁α₁ + x₂α₂ + ... + x_kα_k      =     x · G            x_i ∈ F_q

 

3.2标准生成矩阵(码的等价)

码的变换：
设G1和G2是GF(g)上 的两个k x n矩阵，并且Rank(G1) = Rangk(G2)= k。如果可以通过一系列下述变换将G1变换成G2，则G1和G2生成的q元[n,k]线性码一定是等价的。

(R1)重新排列行向量
(R2)将某一行乘以一个非零元素
(R3)将某一行乘以一个非零元素，然后加到另一行
(C1)重新排列列向量
(C2)将某一列乘以一个非零元素

设G是一个q元[n, k]线性码的生成矩阵。则通过一系列(R1)(R2)(R3)(C1)(C2)类型的变换，一定可以将G变换成型如（I_k | A ）的矩阵，其中 I_k  是一个k x k阶单位矩阵。A是一个k x (n- k)阶矩阵。 型如（I_k | A ）的生成矩阵为标准型生成矩阵。 

 

4.内积

Fq中定义欧式内积

α = (a₁，a₂，... ，a_n)      β = (b₁，b₂，... ，b_n)            α · β ≜  Σ a_ib_i

性质：对称性；线性

注意：α · α ≥ 0   但是α · α  = 0    ⇔    α = 0 是否成立呢？

不成立，例如在F₂²中，α = (1,1) ，则α · α  = 1+1 = 2 = 0 （因为是在F₂²中，2进位为0）

 

5.对偶码

C是线性码，参数为[ n，k，d ]，C^⊥ = { β ∈ F_qⁿ   |   α · β = 0 ，∀ α ∈ c}

问题：求dim C^⊥ ，即C的对偶码的维数怎么求

解：设 G = (α₁，α₂，... ，α_k)^T  ，则 α · β = 0 ，∀ α ∈ c         ⇔         α₁ · β = 0，  α₂ · β = 0，  ...     ，α_k · β = 0           ⇔        　　G · β^T = 0 　　

则C^⊥  = { β ∈ F_qⁿ  |  G · β^T = 0  }    对比线性代数中 AX＝0，dim(解空间) = n - r(A)   ，在本例中，解空间是 β ∈ F_qⁿ，则有dim C^⊥ = n - k

∴对偶码的维数 = n-k 

 

6.码的校验矩阵

C是线性码，参数为[n，k，d]，C的生成矩阵是G，C^⊥ 的生成阵称为C的校验阵，记为H

分析：dim C^⊥ = n - k ，C^⊥ ：F_q上n-k维子空间，基是{β₁，β₂，...，β_n-k}， 即 H = {β₁，β₂，...，β_n-k}^T ， H 为C^⊥ 的生成矩阵，也是C的校验矩阵

注：C^⊥  = { β ∈ F_qⁿ  |  G · β^T = 0  }   ，C^⊥  的生成矩阵是H，

有：G · β₁^T = 0，G · β₂^T = 0，......，G · β_n-k^T = 0

得到： G · H^T = 0       它刻画了码C的生成矩阵和校验矩阵之间的关系

 

7.（C^⊥ )^⊥ = C 

证明： C^⊥ = { β ∈ F_qⁿ   |   α · β = 0 ，∀ α ∈ c}  ， ∀ α ∈ c，β ∈ C^⊥，α · β = 0       ⇒         α ∈(C^⊥)^⊥        ⇒       α ∈(C^⊥)^⊥  且dim C^⊥ = n - k，则dim (C^⊥)^⊥ = n - (n - k) = k，   ⇒      C = (C^⊥)^⊥

注：C^⊥的校验矩阵是 (C^⊥)^⊥ 的生成矩阵G

 

8.总结

（1）码C的生成矩阵是G，校验矩阵是H，同时，G是C^⊥的校验矩阵，H是C^⊥生成矩阵

（2）V ∈ F_qⁿ：V是F_qⁿ里面的向量

如何判断V是不是码字呢？ ： V ∈ C    (V是码字)   ⇔       H · V^T = 0

证明：“⇐” ：H为C^⊥的生成矩阵，V ∈(C^⊥)^⊥ = C

“⇒”： V = x · G  ，      H · V^T = H · G^T · x^T = 0  （由6得，G · H^T = 0）

 

9.关于C和C的对偶码（C^⊥）的定义

（1）若C  ⊂  C^⊥ ，称 C 自正交码

（2）若C  =  C^⊥ ，称 C 为自对偶码