【总结】函数的三大性质及抽象函数的做法

单调性

增函数

\(\forall x_{1}，x_{2} \in I\)

当 \(x_{1}<x_{2}\) 且 \(f(x_{1})<f(x_{2})\) 时

称 \(f(x)\) 在 \(I\) 单调递增。

减函数

\(\forall x_{1}，x_{2} \in I\)

当 \(x_{1}<x_{2}\) 且 \(f(x_{1})>f(x_{2})\) 时

称 \(f(x)\) 在 \(I\) 单调递减。

奇偶性

奇函数

1： 定义域和函数图像关于原点对称

2： \(f(-x)=-f(x)\)

偶函数

1： 定义域关于原点对称

2： 图像关于 \(y\) 轴对称

对称性

中心对称

轴对称

没有什么好说的。

这篇文章的重点——抽象函数

抽象函数是指没有具体的解析式的函数。

需代数来做。

例题

已知定义在 \(R\) 的函数 \(f(x)\) 满足对任意实数 \(x,y\)，都有 \(f(x+y+1)=f(x-y+1)-f(x)f(y)\)；又 \(f(1)=2\)。 判断函数 \(f(x)\) 的奇偶性，并加以证明。

令 \(x=y=0\)

\(\therefore f(1)=f(1)+f(0)^{2}\)

即 \(f(0)=0\)

在令 \(x=-1,y=1\)

得 \(f(1)=f(-1)-f(-1)f(1)\)

\(\therefore 2=f(-1)-2f(-1)\)

得 \(f(-1)=-2\)

所以是奇函数。

例题2

若 \((3x+y)^{2021}+x^{2021}+4x+y=0\),求 \(4x+y\)

原式 \(=(3x+y)^{2021}+3x+y+x^{2021}+x\)

令 \(F(x)=x^{2021}+x\)

原式 \(=F(3x+y)+F(x)=0\)

明显 \(F(x)\) 为奇函数

\(\therefore 3x+y+x=4x+y=0\)