【总结】均值不等式

均衡不等式这个名字霸气泄露，但学起来依然霸气泄露。

算数平均值：

若有正数 a,b ,则 \(\frac{a+b}{2}\) 是\(a,b\)的算术平均值。

几何平均值：

顾名思义，一看就是有关 \(ab\) 的。

若有 \(a,b\) ，则 \(\sqrt{ab}\) 是\(a,b\)的几何平均值。

正题：均衡不等式

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上网搜了搜，是哪个闲人发明的。

闲人：约翰·伯努利，想了解可以点这个。

正题的正题

均衡不等式是指：

$\frac{2ab}{a+b} <= \sqrt{ab} <= \frac{a+b}{2} <=\sqrt{\frac{a^{2}+ b^{2}}{2} } $

若四个不等式都相等，则\(a=b\)。

相反亦同之。

如果想了解究竟是如何证明的，可以点这个。

当\(a+b\)或\(ab\) 为定值，则另一项可确定。

均衡不等式的变形：

• \(ab <= (\frac{a+b}{2} )^{2} <= \frac{a^{2}+b^{2} }{2}\)

• $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>=2(a,b同号) $

• \((a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} )>=4（a，b同号）\)

• \(a^{2}+b^{2}+c^{2} >= ab+bc+ac\)

柯西不等式

\(ac+bd<=\sqrt{a^{2}+b^{2} } \sqrt{c^{2}+d^{2} }\)

权方和不等式(极极极极极其好用)

$\frac{a^{2} }{x} +\frac{b^{2} }{y} >= \frac{(a+b)^{2}}{x+y} $