数学吧 的 一题 《实在想不出来了》
今天（2021-11-01）晚上看到 数学吧 的 一题 《实在想不出来了》 https://tieba.baidu.com/p/7596415471
大概知道怎么做了， 但是 lim xn , n -> 无穷 的 地方 还要想一下， 题目 似乎 有点问题， 应该要求 f (x) 在 [ 0, 1 ] 上 要么 大于 1， 要么 小于 1 ， 如果 f (x) 在 [ 0, 1 ] 上 有 小于 1 也有 大于 1， 那 lim xn , n -> 无穷 似乎不存在，就是说 n -> 无穷 时， xn 并不收敛， 而是 受 无穷 支配 而 不能确定 值 。
@思维机器 可以看看
@已封12138
本文已发到了 反相吧 《数学吧 的 一题 《实在想不出来了》》 https://tieba.baidu.com/p/7597152622 。
2 楼
思维机器 ： 收到
3 楼
思维机器 ： 用中值定理证明
K歌之王: 我在 《实在想不出来了》 的 回复 里 看到 好几次 “积分中值定理”， 以前也看到过， 但 我 不知道 积分中值定理 是 什么 ， 我在下面 发 我的 做法 。
思维机器: 回复 K歌之王 :积分中值定理有个公式，大概意思就是函数区间的积分等于区间某点的函数值乘以区间长度，这很直观的。还有微分形式的，就是拉格朗日中值定理
K歌之王 :回复 散步的鱼 :这么一说 就 明白了， 这个 积分中值 类似 交流电 的 有效值，在 物理 里 应该会 经常 见到 等效均值点 的 场景 。 刚也看了一下 拉格朗日中值定理 。
散步的鱼: 回复 K歌之王 :最近忙啊，没精力深搞
4 楼
K歌之王 ：
因为 f ( x ) 在 [ 0, 1 ] 非负单增， 所以， [ f ( x ) ]^n 在 [ 0, 1 ] 上 的 定积分 就可以 妥妥的 表示 为 [ f ( x ) ]^n 和 x 轴 在 [ 0, 1 ] 上 围成的 曲边形面积 。
将 [ f ( x ) ]^n 在 [ 0, x ] 上 的 定积分 记为 F ( x )， 可知 F ( 0 ) = 0 ， 当 0 < x <= 1 时， F ( x ) > 0 ， F ( x ) 在 [ 0, 1 ] 上 也是 单增 的 。
要 证明 题目（存在 唯一 的 xn）， 只要 证明 [ f ( 0 ) ]^n <= F ( 1 ) <= [ f ( 1 ) ]^n ，
要 怎么 证明 [ f ( 0 ) ]^n <= F ( 1 ) <= [ f ( 1 ) ]^n ？
比如， 直线 y = [ f ( 1 ) ]^n ， 直线 x = 1 和 x 轴 y 轴 围成的 长方形面积 是 大于 F ( 1 ) 的 ， 然后 …… 嘿嘿
5 楼
K歌之王 ：
回复 3 楼 @思维机器 “最近忙啊，没精力深搞” ，
大家加油， 哈哈 。
微分形式 的 中值定理， 也就是 拉格朗日中值定理 和 泰勒级数 颇有渊源， 或者说，泰勒级数 受到 中值定理 的 影响 和 思想上 的 启发 。
把 f ( x ) 在 [ a,b ] 上 的 增量 等价 为 一条 斜率 为 k 的 直线 在 [ a, b ] 上 的 增量， 以此 列一个 方程， 用 微分方程 的 方法 来 解 这个 方程， 得到的就是 泰勒级数 。
这几天看知乎看到， 伽罗华 和 阿贝尔 解决 一元五次以上方程 没有 代数解 的 问题 前， 拉格朗日 （还是 拉普拉斯 ？ 分不清 这两位） 就 觉得 五次以上方程 的 根 可能 不能用 根式 表达 。
而 傅里叶级数 出现 前， 数学家们 （拉格朗日 ？ 拉普拉斯 ？） 也 隐约觉得 周期函数 可以 表示 为 正弦级数 。 而 傅里叶 凭 直觉 就 说 周期函数 可以 表示 为 正弦级数 。
看来 大师 们 的 杰作 也是 在 之前 的 大师 和 之前的之前的 大师的大师 那里 受到 启示 积累 一点一点 发展 来 的 。
6 楼
K歌之王 ：
5 楼 说到的 知乎 《能说说你们心目中的数学大咖(数学家or教授都行)，并且能介绍几个有关他(她)们与数学的故事吗？》 https://www.zhihu.com/question/372642069/answer/1022511118
7 楼 8 楼 9 楼 10 楼
一开始 想的 比较简单， f ( x ) 在 [ 0, 1 ] 上 非负连续严格增， 所以， [ f ( x ) ] ^ n 也是 非负连续严格增， 若 f ( x ) > 1， 当 n -> 无穷 时， [ f ( x ) ] ^ n 的 增幅猛烈， 直插云霄 。
设 f ( x ) 和 n 无关， 也就是 f ( x ) 里 没有 n 。
若 x ∈ [ 0, 1 ] ， f ( x ) < 1 ， 当 n -> 无穷 时， [ f ( x ) ] ^ n -> 0 ， 那么 [ f ( x ) ] ^ n 在 [ 0, 1 ] 上的 定积分 ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ] 也 趋于 0 ， 此时， [ 0, 1 ] 上 的 任意一个 x 都能满足 f ( x ) -> 0 ， 也就是 [ 0, 1 ] 上 的 任意一个 x 都可以作为 xn， 但 这 好像 和 题意 “唯一的 xn” 不一致 了 ？
这些 是 刚开始 做 这题 时 的 想法， 后来没过几天， 在 做 《又 看到 数学吧 的 两题》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/15522312.html 里 的 题 的 时候 发现， 一个 函数 f ( x ) ， 在 [ 0, 1 ) 上 处处 无穷小， 但是 它 在 [ 0, 1 ] 上 的 定积分 不一定 是 无穷小， 也可能是 常数 或 无穷， 这 和 f ( 1 ) 的 值 有关 。
当然， 我们 这里 x ∈ [ 0, 1 ] ， f ( x ) < 1 ， 也就是 f ( 1 ) < 1， 当 n -> 无穷 时， [ f ( 1 ) ] ^ n -> 0 ， 所以 f ( x ) 在 [ 0, 1 ] 上 的 定积分 是 无穷小 还是 成立 的 。
若 x ∈ [ 0, 1 ] ， f ( x ) = 1 ， 当然， 这种情况 是 不存在的， 因为 f ( x ) 非负连续严格增 。
若 x ∈ [ 0, 1 ] ， f ( x ) > 1 ， 当 n -> 无穷 时， [ f ( x ) ] ^ n -> 无穷 。
因为 [ 0, 1 ] 在 x 轴 上 的 长度 为 1， 所以， 要让 [ f ( xn ) ] ^ n = ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ] ， 只要让 直线 y = f ( xn ) 在 [ 0, 1 ] 里 和 x 轴 围成 的 长方形面积 等于 [ f ( x ) ] ^ n 在 [ 0, 1 ] 里 和 x 轴 围成 的 曲边形面积 就行了 。
那么 这个 曲边形 的 面积 是 多大 ？ 首先看一下 这个 曲边形 的 形状 。
一开始 想的 比较简单， f ( x ) 在 [ 0, 1 ] 上 非负连续严格增， 所以， [ f ( x ) ] ^ n 也是 非负连续严格增， 若 f ( x ) > 1， 当 n -> 无穷 时， [ f ( x ) ] ^ n 的 增幅猛烈， 直插云霄 。
既然 每个 x 的 [ f ( x ) ] ^ n 都 无穷大， 直插云霄， 一个 比一个 飞的 更高， 高到看不见， 那 这些 一个比 一个高， 高 到 没影 的 [ f ( x ) ] ^ n 连起来 的 曲线 也是 一条 直插云霄 的 “冲天线” 吧 ？ 大概 这个样子 ：
[ f ( x ) ] ^ n 曲线 无限趋于 和 x 轴 垂直， 和 y 轴 平行， 无限趋于 直线， 所以， 它 和 x 轴 在 [ 0,1 ] 上 围成 的 曲边形 应该是 无限趋于 一个 向上 无限开口 的 长方形 吧 ？
这 和 直线 x = 1 （图中 虚线） 和 y 轴 、x 轴 在 x ∈ [ 0, 1 ] 上 围成 的 向上 无限开口 的 长方形 差不多 吧 ？
两个 长方形 无限趋于 重合， 当然 两者 的 面积 无限趋于 相同 。
两个 长方形 的 宽 都是 1，
直线 x = 1 的 高度 是 无穷， y = 无穷， 长方形 面积 = 无穷 * 1 = 无穷
所以， [ f ( x ) ] ^ n 曲线 和 x 轴 在 [ 0,1 ] 上 围成 的 曲边形 无限趋于 长方形， 长方形 的 高 应该是 最大 的 那个 [ f ( x ) ] ^ n， 即 [ f ( 1 ) ] ^ n ， 当然 [ f ( 1 ) ] ^ n 也是 无穷 ， 于是 ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ] = 曲边形面积 = 长方形面积 = [ f ( 1 ) ] ^ n * 1 = [ f ( 1 ) ] ^ n ，
即 ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ] = [ f ( 1 ) ] ^ n
我们 要找的 xn 要 满足 [ f ( xn ) ] ^ n = ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ] ， 由 上式 ， 显然， xn = 1 ， 因为 曲边形 趋于 长方形 ， 所以也可以说 xn -> 1 。
因为 曲边形 无限趋于 长方形， 因此， f ( x ) 还可以 画成 这样子 ：
但 [ f ( x ) ] ^ n 曲线 不是 无限 趋于 竖直 的 直线 吗 ？ （竖直 指 垂直于 x 轴） 那 个 “横过来” 的“ 封顶” 是 怎么回事 ？ 好吧， 我们可以这样说服自己， [ f ( x ) ] ^ n 曲线 只有 上升 到 “最高” 的 时候 才 “甩过来” 封顶， 最高 是 多高 ？ 是 [ f ( 1 ) ] ^ n ？ 是 无穷 ？ 是 永远到达 不了 ？
这是 只看 f ( x ) 的 定义域 是 [ 0, 1 ] ，
如果 f ( x ) 的 定义域 是 x 轴 正半轴， 也是 非负连续严格增， 那 是 在 什么时候 “甩过来” ？ 是在 [ f ( 1 ) ] ^ n ？ [ f ( 2 ) ] ^ n ？ [ f ( 3 ) ] ^ n ？ [ f ( 无穷 ) ] ^ n ？
若 在 x ∈ [ 0. 1 ] 上， 有 f ( x ) < 1， 也有 f ( x ) > 1， 就有一些问题了 。 设 f ( 0.4 ) = 1， 因为 f ( x ) 连续严格增， 当然， 在 x ∈ [ 0. 0.4 ) ， f ( x ) < 1， 当 n -> 无穷 时， [ f ( x ) ] ^ n -> 0 ， 在 x ∈ ( 0.4. 1 ] ， f ( x ) > 1 ， 当 n -> 无穷 时， [ f ( x ) ] ^ n -> 无穷 。
看起来， x ∈ [ 0, 0.4 ] 上 的 曲边形 面积 是 无穷小， 这样 曲边形面积 就 只要 算 x ∈ [ 0.4, 1 ] 的 部分 就可以了 。 根据 刚刚 的 做法， 这部分 曲边形 无限 趋于 直线 y = [ f ( 1 ) ] ^ n = 无穷 在 x ∈ [ 0.4, 1 ] 上 和 x 轴 围成的 长方形， 面积 = [ f ( 1 ) ] ^ n * ( 1 - 0.4 ) = [ f ( 1 ) ] ^ n * 0.6 。
现在要找一个 xn， 使 [ f ( xn ) ] ^ n = ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ] ， 也即是 [ f ( xn ) ] ^ n = 曲边形面积 = [ f ( 1 ) ] ^ n * 0.6 ，
从 x > 0.4 开始， [ f ( x ) ] ^ n 曲线 就 无限趋于 竖直 的 直线， 也就是 和 x 轴 垂直 的 直线， 也就是 无限趋于 和 直线 x = 0.4 重合， 那 这条 曲线（“直线”） 上 的 每个点 的 x 坐标 都 趋于 x = 0.4 ，
从 直观 上， xn 应该是 让 直线 y = [ f ( xn ) ] ^ n 在 x ∈ [ 0, 1 ] 上 和 x 轴 围成 的 长方形 面积 等于 直线 y = [ f ( 1 ) ] ^ n = 无穷 在 x ∈ [ 0, 1 ] 上 和 x 轴 围成的 长方形 面积 的 6 / 10 ，
也就是 [ f ( xn ) ] ^ n 的 高度 是 [ f ( 1 ) ] ^ n 的 高度 的 6 / 10 ， 也就是 [ f ( xn ) ] ^ n = [ f ( 1 ) ] ^ n * 0.6 ，
那么， 要怎么 去找 这个 点 xn ？
[ f ( xn ) ] ^ n = [ f ( 1 ) ] ^ n * 0.6
两边 开 n 次方
f ( xn ) = f ( 1 ) * 0.6 ^ (1/n)
当 n -> 无穷 时， 0.6 ^ (1/n) -> 1
f ( xn ) = f ( 1 ) * 1
f ( xn ) = f ( 1 )
xn = 1
嗯 ？ 不是说 从 x > 0.4 开始， [ f ( x ) ] ^ n 曲线（“直线”） 上 的 每个点 的 x 坐标 都 趋于 x = 0.4 ？ 现在 xn = 1 ， 怎么 一下子 跳到 另一边 了 ？ [ 0.4, 1 ] 的 一边是 0.4， 另一边 是 1， 从 0.4 跳到 1 ， 当然 是 从 一边 跳到 另一边 了 。
所以说， [ f ( x ) ] ^ n 曲线 从 [ 0.4, 1 ] 的 左边界 0.4 跨越到 右边界 1 了 ， [ f ( x ) ] ^ n 曲线 跨越了 [ 0.4, 1 ] ， 其实 跨越 是 理所应当 的， [ 0.4, 1 ] 本来 就是 定义域 的 一部分 嘛 。
这个 问题 称为 “跨越问题” 。
另一方面， 因为 xn -> 1， 所以 [ f ( xn ) ] ^ n -> [ f ( 1 ) ] ^ n ， 直线 y = [ f ( xn ) ] ^ n 在 x ∈ [ 0.4, 1 ] 上 和 x 轴 围成 的 长方形面积 = [ f ( xn ) ] ^ n * 1 = [ f ( 1 ) ] ^ n * 1 = [ f ( 1 ) ] ^ n ， 但 这个 长方形面积 应该 只等于 直线 y = [ f ( 1 ) ] ^ n 在 x ∈ [ 0, 1 ] 上 和 x 轴 围成 的 长方形面积 的 6 / 10 ， 即 [ f ( 1 ) ] ^ n * 0.6 ， 但现在 等于 [ f ( 1 ) ] ^ n ， 就是说， 两个 长方形 的 面积 应该是 0.6 : 1 ， 但 现在 是 1 : 1 ， 这是 怎么回事 ？
从 直观 和 图形 上看， [ f ( x ) ] ^ n 曲边形面积 等于 直线 y = [ f ( xn ) ] ^ n 在 x ∈ [ 0.4, 1 ] 上 和 x 轴 围成 的 长方形面积 ， 等于 直线 y = [ f ( 1 ) ] ^ n 在 x ∈ [ 0, 1 ] 上 和 x 轴 围成 的 长方形面积 的 6 / 10，
很明显， [ f ( x ) ] ^ n 曲边形面积 只是 直线 y = [ f ( 1 ) ] ^ n 在 x ∈ [ 0, 1 ] 上 和 x 轴 围成 的 长方形面积 的 一部分（6 / 10） ， 不会 是 全部 呀 ！
这个问题 称为 “部分 -> 全部” 问题 。
“跨越问题” 加上 “部分 -> 全部” 问题 ， 看起来 是 出了一些 问题， 但 没关系， 我们还有 第二套 方案， 为了讨论简单明了， 我们 回到 x ∈ [ 0, 1 ] 的 场景， 设 f ( 0 ) = 1 ， x > 0 时， f ( x ) > 1 。
因为 f ( x ) > 1， 当 n -> 0 时， [ f ( x ]) ^ n 在 x ∈ ( 0, 1 ] 上 处处 无穷大， 且 曲线 跨越了 [ 0, 1 ] ， 一般来说， 指数 n 越大， x ^ n 曲线 就 “绷” 的 越直， f ( x ) 非负连续严格增， [ f ( x ) ] ^ n 也差不多 这样， 当 n -> 无穷 时， “绷” 到 “最直” ， 那 就是 直线 x = 1 、 直线 y = [ f ( 1 ]) ^ n 和 x 轴 、y 轴 围成 的 长方形 的 对角线 吧 ？
既然 是 对角线， 那 就好办了， [ f ( x ) ] ^ n 曲边形 就 趋于 长方形 由 对角线 分成 的 2 个 三角形 里 的 下面 一个 三角形 加上 直线 x = 1 、直线 y = 1 和 x 轴 y 轴 围成 的 边长 为 1 的 正方形 。
因为 正方形 的 面积 是 1 * 1 = 1 ， 而 长方形 面积 是 无穷大， 1 和 无穷大 相比 可以忽略， 即 可以忽略 正方形面积 。
也就是， [ f ( x ) ] ^ n 曲边形 = 1/2 * 长方形面积，
这样， 要 找 xn ， 使得 [ f ( xn ) ] ^ n = ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ] ， 只要 找到 一个 xn ， 使得 直线 y = f ( xn ) ] ^ n 在 x ∈ [ 0, 1 ] 上 和 x 轴 围成 的 长方形 面积 是 直线 x = 1 、 直线 y = [ f ( 1 ) ] ^ n 和 x 轴 、y 轴 围成 的 长方形 面积 的 1/2 就行了 。
显然， 这个 xn 在 [ 0, 1 ] 的 中点， 即 xn = 0.5 。
这个图 和 上一幅图 是 一样 的 ， 只是因为 上一幅图 的 [ f ( x ) ] ^ n 曲线 画的 有点 曲， 从 曲线 中点（直线 y = 1/2 * [ f ( 1 ) ] ^ n = 无穷 和 曲线 的 交点） 作 垂线 到 x 轴 不是刚好在 0.5， 而是要 大一些， 因此 另画了一幅 。
这样 对不对 呢 ？ 我们 验算一下， 其实 上面 也做过 这样的 计算，
[ f ( xn ) ] ^ n = ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ]
[ f ( xn ) ] ^ n = 曲边形面积
[ f ( xn ) ] ^ n = 三角形面积
[ f ( xn ) ] ^ n = 1/2 * 长方形面积
[ f ( xn ) ] ^ n = 1/2 * [ f ( 1 ) ] ^ n * 1
[ f ( xn ) ] ^ n = 1/2 * [ f ( 1 ) ] ^ n
[ f ( xn ) ] ^ n = 0.5 * [ f ( 1 ) ] ^ n
两边 开 n 次方
f ( xn ) = f ( 1 ) * 0.5 ^ (1/n)
当 n -> 无穷 时， 0.5 ^ (1/n) -> 1
f ( xn ) = f ( 1 ) * 1
f ( xn ) = f ( 1 )
xn = 1
咦 ？ 这里 算出来 的 xn = 1 ， 而 我们 用 对角线 得出的 xn = 0.5 ， 两个 答案 不一样， 到底 那个 是 对 的 ？
两种方法 都是 从 对角线 出发 ， 一个 是 从 直观上 图形上 得出 xn = 0.5， 一个 是 从 算式上 方程上 算出 xn = 1 。
有趣 的 是 ， 把 0.5 * [ f ( 1 ) ] ^ n 的 0.5 换成 0.4 ，
[ f ( xn ) ] ^ n = 0.4 * [ f ( 1 ) ] ^ n
两边 开 n 次方
f ( xn ) = f ( 1 ) * 0.4 ^ (1/n)
当 n -> 无穷 时， 0.4 ^ (1/n) -> 1
f ( xn ) = f ( 1 ) * 1
f ( xn ) = f ( 1 )
xn = 1
显然， [ f ( xn ) ] ^ n = 0.3 * [ f ( 1 ) ] ^ n ， [ f ( xn ) ] ^ n = 0.2 * [ f ( 1 ) ] ^ n ， [ f ( xn ) ] ^ n = 2 * [ f ( 1 ) ] ^ n ， [ f ( xn ) ] ^ n = 3 * [ f ( 1 ) ] ^ n …… 解得 的 xn 都是 xn = 1 。 这 ？
这是 自变量 x 趋于 一个 值 可以 产生出 无数个 相差任意倍数 （甚至 无穷倍） 的 函数值 ？ 还是 无数个 相差任意倍数 （甚至 无穷倍） 的 函数值 可以 集中“浓缩” 在 一个 x 上 ？ 还是 无数条 函数曲线 可以 “重合叠加” 在一起， 相互 左移（右移） 相距 无穷小 ？
若 [ f ( 0.5 ) ] ^ n = 1/2 * [ f ( 1 ) ] ^ n ， 则
[ f ( xn ) ] ^ n = [ f ( 0.5 ) ] ^ n 解得 xn = 0.5
[ f ( xn ) ] ^ n = 1/2 * [ f ( 1 ) ] ^ n 解得 xn = 1
按理， [ f ( 0.5 ) ] ^ n = 1/2 * [ f ( 1 ) ] ^ n ， 那么， 这两个 方程解得 的 xn 应该是 相等 的， 但 现在得到了 两个 xn， 一个 xn = 0.5， 另一个 xn = 1， 并不相等， 这是 为什么 ？ 是 出问题了吗 ？ 还是 ， 哪个 xn 才是 正确的 ？
实际上， 可以得到 无数个 xn， 比如 [ f ( 0.5 ) ] ^ n 还可以表示为 [ f ( 0.5 ) ] ^ n = 2 * [ f ( 0.8 ) ] ^ n ，
由此 [ f ( xn ) ] ^ n = 2 * [ f ( 0.8 ) ] ^ n 解得 xn = 0.8
或 [ f ( 0.5 ) ] ^ n 还可以表示为 [ f ( 0.5 ) ] ^ n = 3 * [ f ( 0.7 ) ] ^ n
由此 [ f ( xn ) ] ^ n = 3 * [ f ( 0.7 ) ] ^ n 解得 xn = 0.7
依此类推 可以得到 无数 个 （定义域 内 任意的） xn ， 对应 一个 函数值 [ f ( 0.5 ) ] ^ n 。
这是 一个 函数值 可以 对应 无数 个 （定义域 内 任意的）自变量 ？ 或是 （定义域 内） 任意的 自变量 可以 任意 的 对应 一个 函数值 ？
1 楼 说 “ xn 并不收敛， 而是 受 无穷 支配 而 不能确定 值 ” ， 看来 是 真的 啊 ！
这里 的 种种 问题 称为 “重叠问题” 。
好吧好吧， 说点正事， 猜想一下， ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ] 表示 为 [ f ( 1 ) ] ^ n 的 倍数 大概 应该 这么写，
ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ] = k ^ n * [ f ( 1 ) ] ^ n ， 0 < k < 1
因为 f ( x ) 的 表达式 未知， 这个 k 不一定 是 常数， 可能和 x 相关， 应该说 和 x ∈ [ 0, 1 ] 相关， 也可以写成 k ( 0, 1 ) ， 于是， 可以 列 方程
[ f ( xn ) ] ^ n = k ^ n * [ f ( 1 ) ] ^ n ， 0 < k < 1
解 这个 方程 可得 xn 。 把 方程 变形一下，
两边开 n 次方
f ( xn ) = k * f ( 1 )
xn = f -¹ [ k * f ( 1 ) ]
但 如果 不知道 f ( x ) 的 表达式 的 话， 求 k 比较 困难 吧 ？
其实 这样 意义不大， 求 k 和 求 定积分 ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ] 差不多了， 哈哈 。
好吧， 认真一点， 再来 做一次 这题 。
先声明， 下面 的 积分过程 有错， 错误 是 误以为 ʃ [ f ( x ) ] ^n dx = 1 / ( n + 1 ) [ f ( x ) ] ^( n + 1 ) ， 实际上 ʃ [ f ( x ) ] ^n dx != 1 / ( n + 1 ) [ f ( x ) ] ^( n + 1 ) 。
但 这段 解题过程 体现了 一些 思路 的 尝试， 也 引出了 多元微积分（多变量微积分） 的 运算规则 定义 ， 所以 仍然 保留 。
用 分部积分法
ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx
= ʃ f ( x ) * [ f ( x ) ] ^ ( n - 1 ) dx
= ʃ f ( x ) * { 1 / n * [ f ( x ) ] ^ n } ′ dx
= f ( x ) * 1 / n * [ f ( x ) ] ^ n - ʃ f ′ ( x ) * 1 / n * [ f ( x ) ] ^ n dx
= 1 / n * f ( x ) * [ f ( x ) ] ^ n - 1 / n ʃ f ′ ( x ) * [ f ( x ) ] ^ n dx
= 1 / n * f ( x ) * [ f ( x ) ] ^ n - 1 / n ʃ f ′ ( x ) * { 1 / ( n + 1 ) [ f ( x ) ] ^ ( n + 1 ) } ′ dx
= 1 / n * f ( x ) * [ f ( x ) ] ^ n - 1 / n { f ′ ( x ) * 1 / ( n + 1 ) [ f ( x ) ] ^ ( n + 1 ) - ʃ f ′′ ( x ) * 1 / ( n + 1 ) [ f ( x ) ] ^ ( n + 1 ) dx }
= 1 / n * f ( x ) * [ f ( x ) ] ^ n - 1 / n * f ′ ( x ) * 1 / ( n + 1 ) [ f ( x ) ] ^ ( n + 1 ) + 1 / n ʃ f ′′ ( x ) * 1 / ( n + 1 ) [ f ( x ) ] ^ ( n + 1 ) dx
= 1 / n * f ( x ) * [ f ( x ) ] ^ n - 1 / [ n ( n + 1 ) ] * f ′ ( x ) * [ f ( x ) ] ^ ( n + 1 ) + 1 / [ n ( n + 1 ) ] ʃ f ′′ ( x ) * [ f ( x ) ] ^ ( n + 1 ) dx
这样 无限的 积分下去
= 1 / n * f ( x ) * [ f ( x ) ] ^ n - 1 / [ n ( n + 1 ) ] * f ′ ( x ) * [ f ( x ) ] ^ ( n + 1 ) + 1 / [ n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ] * f ′′ ( x ) * [ f ( x ) ] ^ ( n + 2 )
- …… + 1 / [ n ( n + 1 ) ( n + 2 ) …… ( n + n - 1) ] * f ﹙n - 1﹚ ( x ) * [ f ( x ) ] ^ ( n + n - 1 ) - 1 / [ n ( n + 1 ) ( n + 2 ) …… ( n + n ) ] ʃ f ﹙n﹚ ( x ) * [ f ( x ) ] ^ ( n + n ) dx
(1) 式
f ﹙n - 1﹚ ( x ) 表示 f ( x ) 的 n - 1 阶导数， f ﹙n﹚ ( x ) 表示 f ( x ) 的 n 阶导数
因为 n ^ ( n + 1 ) < n ( n + 1 ) ( n + 2 ) …… ( n + n ) < ( 2 n ) ^ ( n + 1 ) ，
所以， 1 / [ n ( n + 1 ) ( n + 2 ) …… ( n + n ) ] 可以表示为 n1 ^ ( n + 1 ) , n < n1 < 2n
即 1 / [ n ( n + 1 ) ( n + 2 ) …… ( n + n ) ] = 1 / n1 ^ ( n + 1 ) , n < n1 < 2n
则 最后一项
1 / [ n ( n + 1 ) ( n + 2 ) …… ( n + n ) ] ʃ f ﹙n﹚ ( x ) * [ f ( x ) ] ^ ( n + n ) dx
= 1 / n1 ^ ( n + 1 ) ʃ f ﹙n﹚ ( x ) * [ f ( x ) ] ^ ( n + n ) dx
= ʃ f ﹙n﹚ ( x ) * 1 / n1 ^ ( n + 1 ) * [ f ( x ) ] ^ ( n + n ) dx
= ʃ f ﹙n﹚ ( x ) * [ f ( x ) ] ^ ( n + n ) / n1 ^ ( n + 1 ) dx
= ʃ f ﹙n﹚ ( x ) * { [ f ( x ) ] ^ [ ( n + n ) / ( n + 1 ) ] } ^ ( n + 1 ) / n1 ^ ( n + 1 ) dx
= ʃ f ﹙n﹚ ( x ) * { [ f ( x ) ] ^ [ ( n + n ) / ( n + 1 ) ] / n1 } ^ ( n + 1 ) dx
当 n -> 无穷 时， ( n + n ) / ( n + 1 ) -> 2
= ʃ f ﹙n﹚ ( x ) * { [ f ( x ) ] ² / n1 } ^ ( n + 1 ) dx
因为 n -> 无穷， n < n1 < 2n， 所以 n1 -> 无穷，
则 [ f ( x ) ] ² / n1 -> 0 ， 是 无穷小， { [ f ( x ) ] ² / n1 } ^ ( n + 1 ) 是 无穷小 的 无穷次方， 趋于 0， 也是 无穷小 ，
即 { [ f ( x ) ] ² / n1 } ^ ( n + 1 ) -> 0
可以看作 是 0， { [ f ( x ) ] ² / n1 } ^ ( n + 1 ) = 0
于是
ʃ f ﹙n﹚ ( x ) * { [ f ( x ) ] ² / n1 } ^ ( n + 1 ) dx
= ʃ f ﹙n﹚ ( x ) * 0 dx
= ʃ 0 dx
= C ， C 为 任意常数 (2) 式
其实 这个 结果 有待商榷， 若 [ f ( x ) ] 是 无穷大， 则 [ f ( x ) ] ² / n1 是 无穷大 / 无穷大， 结果是 不确定的， 如果 结果 不是 无穷小， 而是 常数 或 无穷大， 则 { [ f ( x ) ] ² / n1 } ^ ( n + 1 ) 就 不是 无穷小， 就不能得到 (2) 式 结果 。 又或者， { [ f ( x ) ] ² / n1 } ^ ( n + 1 ) 是 无穷小， 但 f ﹙n﹚ ( x ) 是 无穷大， 则 f ﹙n﹚ ( x ) * { [ f ( x ) ] ² / n1 } ^ ( n + 1 ) 是 无穷大 * 无穷小， 结果 也是 不确定的， 如果 结果 不是 无穷小， 而是 常数 或 无穷大， 同样 也 不能得到 (2) 式 结果 。
而 实际上 这里参与 计算 的 无穷大 和 无穷小 是 没有办法进行 无穷大（无穷小）之间 的 乘除计算 的， 因为 它们 分别属于 两个变量 x 和 n 。
比如 [ f ( x ) ] ² / n1 里 的 [ f ( x ) ] 和 n1 ， 因为 分别属于 两个不同的 变量 x 和 n， 且 x 和 n 之间没有关系， x 变化 不会 引起 n 变化， n 变化 不会 引起 x 变化 ， 因此， 若 [ f ( x ) ] 是 无穷大， 当然， n1 本来 就是 无穷大， [ f ( x ) ] ² / n1 是 无穷大 / 无穷大， 这个 无穷大 / 无穷大 的 除法 是 没有办法 计算的， 不能得知 它 的 结果 是 无穷大 还是 无穷小 还是 常数 。
这里 就 涉及到 多元微积分 （多变量微积分） 的 运算法则 定义， 我们可以 这样 规定 优先级 ： 0 > 系数 > 变量
也就是 0 的 优先级 最高， 0 * 系数 = 0， 0 * 变量 = 0， 不管 系数 和 变量 是 无穷大 、无穷小 还是 常数 。
以此类推 。
相对于 x ， 包含 n 不包含 x 的 表达式 是 系数 ； 相对于 n ， 包含 x 不包含 n 的 表达式 是 系数 。
根据 这个 规则 ， 在 ʃ f ﹙n﹚ ( x ) * { [ f ( x ) ] ² / n1 } ^ ( n + 1 ) dx 中， 是 对 dx 积分， 也可以说 对 x 积分， x 是 变量， n 是 系数， n 的 优先级 大于 x ，
由此， 在 [ f ( x ) ] ² / n1 中， 无论 [ f ( x ) ] 多大， 甚至 是 无穷大， 对 n 来说， [ f ( x ) ] 都 相当于 常数 ， 当然， 这里 是 n1， 不过 和 n 是一样 的 ， 因为 n1 是 和 n 相关 而 和 x 无关的 表达式 。
f ﹙n﹚ ( x ) * { [ f ( x ) ] ² / n1 } ^ ( n + 1 ) 也一样， 无论 f ﹙n﹚ ( x ) 多大， 甚至 是 无穷大， 对 n 来说， f ﹙n﹚ ( x ) 都 相当于 常数 。
这样 就可以得到 (2) 式 的 结果 。
接着说， 由 (2) 式
ʃ f ﹙n﹚ ( x ) * { [ f ( x ) ] ² / n1 } ^ ( n + 1 ) dx = C
在 计算 定积分 的 时候， 这一项 会 C - C = 0 消掉， 因此 这一项 可以舍弃 。 于是， (1) 式 舍弃这一项 之后， 就没有 积分项 了， 可以进一步 计算 。 问题是， 这玩意 能 算出来 吗 ？
假设 算出来了， 也就是 (1) 式 算出来了， (1) 式 也就是 不定积分， 也就是 不定积分 算出来了， 根据 不定积分 把 定积分 也 算出来 了， 记为 F ( 1 ) ，
即 F ( 1 ) = ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ]
要让 [ f ( xn ) ] ^ n = ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ] ，
可以列方程
[ f ( xn ) ] ^ n = F ( 1 )
两边 开 n 次方
f ( xn ) = [ F ( 1 ) ] ^ (1/n)
xn = f -¹ { [ F ( 1 ) ] ^ (1/n) }
要注意 开 n 次方 的 时候 会不会 有 “重叠问题” 喔 ！
再次声明， (1) 式 的 积分过程 有错， 错误 是 误以为 ʃ [ f ( x ) ] ^n dx = 1 / ( n + 1 ) [ f ( x ) ] ^( n + 1 ) ， 实际上 ʃ [ f ( x ) ] ^n dx != 1 / ( n + 1 ) [ f ( x ) ] ^( n + 1 ) 。
但 这段 解题过程 体现了 一些 思路 的 尝试， 也 引出了 多元微积分（多变量微积分） 的 运算规则 定义 ， 所以 仍然 保留 。
到此， 本次讨论 到 尾声 了 ， 上文 画 的 那些 图 叫 直观想象图， 看起来 这些 图 多少 有些问题， 那 正确的 [ f ( x ) ] ^ n 曲线 的 直观想象图 是 什么样的， 小朋友们， 你们 想到了 吗 ？
