我决定在 反相吧 开展 一系列 的 趣味课堂, 来 普及 微积分 (4)

第 23 讲      ----------------------------------------------

 

微积分 运算公式  是 基于  导数 和 积分 推导出来的,   也就是 基于   dy / dx 和    ʃ  f ( x ) dx     推导出来的,   是  dy / dx 和    ʃ  f ( x ) dx   的 变形 和 组合 。

 

微积分 运算公式 的 典型应用 是 求积分 和 解微分方程  ,   广泛的,   也用于  求导数 、积分方程, 各种 微积分问题 或者说 数学分析问题, 比如  泛函 变分法   。

 

 

 

 

第 24 讲      ----------------------------------------------

 

一阶微分方程

 

一阶微分方程 就是 方程 里 有 一阶导数 的 方程,   比如   

 

dy / dx = y              (1) 式

 

(1) 式  是  一阶微分方程,     可以这样解 :

 

移项, 变量分离,        1/y  *  dy  =   dx

两边积分         ʃ   1/y  *  dy   =    ʃ   dx  

In | y |   +   C   =   x       ,     C 为 任意常数

In | y |  =  x - C

In | y |  =  x + C  ,         因为 是 任意常数,  所以 - C 可以写成 + C

y = e ^ ( x + C )              (2) 式

 

(2) 式 就是 (1) 式 的 解,  也就是    dy / dx = y     这个 微分方程 的 解  。    微分方程 的 解 是 一个 或 多个 函数,    这些 函数 的 导数关系 满足 微分方程  。 

 

因为  (2) 式 中  C 为 任意常数,   所以,  (2) 式 代表了 无数个 函数,     (2) 式 是 (1) 式 的 通解  。

 

可以根据 题目 给出 的 一些 条件 确定 常数 C  的 值,      (2) 式 的 C 取 确定 的 值 对应的 函数 称为  特解 。

 

比如,  题目 给出 的 条件 是  当 x = 0 时, y = 2,       把 这个 条件 代入 (2) 式 ,

 

2 = e ^ ( 0 + C )

2 = e ^ C

C = In 2

 

把   C = In 2   代入  (2) 式 ,   

 

y = e ^ ( x + In 2 )              (3) 式

 

(3) 式  就是  (1) 式  的 一个  特解  。

 

 

 

 

第 25 讲      ----------------------------------------------

 

如图,   当 时间 t = 0 时,    2 个 质点 A 、B  从 原点 O  出发,  以 速率 Va 、Vb   匀速率 运动,    A 的 运动轨迹 是 抛物线  ya = 1/2 x ²  ,     B 的 运动轨迹 是  直线  yb = x    。     已知 Va,   问  Vb  是多少, 使得 A 、B 可以相遇 ?  并求出 相遇 的 时间 和 位置  。

 

 

 

 

设 相遇点 为 C   。       可以看到,  C 点 是  抛物线 和 直线 的 交点,     可以列方程 :

 

ya = yb

1/2 x ² = x

x (1/2 x - 1) = 0

解得  x1 = 0 ,    x2 = 2    。       x1 = 0 表示 原点 O,   所以 C 点 是  x2 = 2,  代入  y = x ,  得 y = 2,   即 C 点 坐标 是  Xc = 2 ,  Yc = 2  。

 

接下来 要 计算  质点 A 到达 C 点  的 时间,   设 A 在 x 方向 的 速度分量 是 v, 根据 路程(位移) 是 速度 对 时间 的 积分,  可以列方程 :

 

x = ʃ  v  dt          (1) 式

 

根据 导数 的 定义,   导数 是 函数曲线 上 一点 的 斜率,   可以知道 :

 

v =  Va  *   1 /  [ 1  +  ( ya ′ ) ²  ]  开方          (2) 式,         ya ′  是  ya = 1/2 x ²    的 导数

 

ya ′ =  ( 1/2 x ² )  ′  =   x   ,     代入 (2) 式 :

 

v  =  Va *  1 /  ( 1 + x ² ) 开方      ,  代入 (1) 式 :

 

x =   ʃ  Va *  1 /  ( 1 + x ² ) 开方  dt  

两边微分   dx = d  [  ʃ  Va *  1 /  ( 1 + x ² ) 开方  dt  ]

dx = Va *  1 /  ( 1 + x ² ) 开方  dt

可以看到,  方程 变成了 微分方程,

移项,  变量分离         ( 1 + x ² ) 开方  dx   =  Va  dt

两边积分       ʃ   ( 1 + x ² ) 开方  dx  =   ʃ  Va  dt

 ʃ   ( 1 + x ² ) 开方  dx  =  Va  *   t                (3) 式

 

求出     ʃ   ( 1 + x ² ) 开方  dx        这个 积分 就可以 解出 方程   。      这个 积分 有一点 麻烦,  应该是用 第二类换元法,   令   x = tan t   。  在 网上 的 文章 《求(1+x^2)开根号的积分》    https://www.zybang.com/question/14408f9d45a2741ef61e5da3fd265931.html        可以看到答案 :

 

 ʃ   ( 1 + x ² ) 开方  dx  =   (1/2) x (1+x²) 开方 + (1/2) ln | (1+x²) 开方 + x | + C

 

把 这个 答案 代入 (3) 式 :

 

(1/2) x (1+x²) 开方 + (1/2) ln | (1+x²) 开方 + x | + C   =    Va  *   t           (4) 式

 

因为 题目 条件 是 当 t = 0 时,  A 从 原点 O 出发,  所以,   当 t = 0 时,  x = 0,   代入 (4) 式,

 

(1/2) * 0 * (1+0²) 开方 + (1/2) ln | (1+0²) 开方 + 0 | + C   =    Va  *   0

0 + 0 + C = 0

C = 0

 

把   C = 0   代回  (4) 式 ,

 

(1/2) x (1+x²) 开方 + (1/2) ln | (1+x²) 开方 + x |    =    Va  *   t

t =  {  (1/2) x (1+x²) 开方 + (1/2) ln | (1+x²) 开方 + x |  }   /   Va           (5) 式

 

相遇时间 就是 A 到达 C 点 的 时间,   C 点 坐标 Xc = 2,  即 当 x = 2 时,  到达 C 点,  把 x = 2 代入 (5) 式 :

 

tc =   {  (1/2) 2 (1+2²) 开方 + (1/2) ln | (1+2²) 开方 + 2 |  }   /   Va 

=   (  根号 5   +   1/2 * ln | 根号 5 + 2 |  )   /   Va

 

tc   是 到达 C 点 的 时间 ,     即 相遇时间  。

 

OC 线段 长   =   ( Xc ² + Yc ² ) 开方  =  ( 2 ² + 2 ² ) 开方 = 2 根号( 2 )     ,

 

Vb = OC / tc 

=    2 根号( 2 )   Va   /    (  根号 5   +   1/2 * ln | 根号 5 + 2 |  ) 

 

所以,   当   Vb  = 2 根号( 2 )   Va   /   (  根号 5   +   1/2 * ln | 根号 5 + 2 |  )       时 ,    A 、B 会相遇, 

相遇时间 tc   =    (  根号 5   +   1/2 * ln | 根号 5 + 2 |  )   /   Va    ,

相遇位置 是 C 点,  C 点 坐标    Xc = 2 ,  Yc = 2  。

 

 

 

 

第 26 讲      ---------------------------------------------- 

 

二阶微分方程 和 简谐运动

 

二阶微分方程 是 方程 中 有 二阶导数 的 方程 。     二阶导数 就是 导数 的 导数 。   通常 把 导函数 简称 导数,   所以, 也可以说,  导函数 的 导函数 是  二阶导函数, 简称 二阶导数  。

 

常见的例子,   物理学 中 的 路程 s 、 速度 v 、 加速度 a   的 关系  , 

 

v = ds / dt ,   v 是 s 的 导数,

a = dv / dt ,   a 是 v 的 导数,

 

所以,   a = dv / dt = d ( ds / dt ) / dt =  d²s / dt²    

 

a 是 s 的 二阶导数,      d²s / dt²   是 二阶导数 表示法,       d²s / dt²  表示  d ( ds / dt ) / dt    。

 

简谐运动  就是 弹簧振子 的 运动,  又称 简谐振动 。     弹簧 的 一端 固定,  另一端 系 一个 小球,  小球 在 弹簧 所在 的 直线 上 自由运动,  就是 简谐运动  。

小球 可以有 初速度,    也可以没有 初速度,  没有 初速度 的话,  可以 拿着 小球 拉伸 或者 压缩 弹簧 后 ,  松手,  这样 小球 在 弹簧弹力 下 开始运动  。

当然,    有 初速度 的 情况下,  也可以让 小球 从 某个 拉伸 或 压缩 的 位置 开始运动 。

 

我们 可以来  列一下   简谐运动  的  微分方程 :

 

以  弹簧 所在 直线 为 x 轴,  弹簧 拉伸 方向 为 正方向,  弹簧 自然放松位置(不拉伸也不压缩 的 位置)  为 原点 O,  建立 坐标系  。    由于 只有 x 轴,  所以 这是个 一维坐标系 。

 

设  弹簧 拉伸 和 压缩 的 弹性系数 均为 k,     小球 的 位移 为 x,     初速度 为  V₀ ,  初始位置 为  X₀  ,  小球 质量 为  m  。

 

根据  胡克定律,    小球 在 位置 x 时 的 弹力 F = - k x   ,       因为,  x 为 正 时,  弹力 是  拉力,  x 为 负 时,  弹力 是 反弹力,  所以,  F 和 x 的 方向相反 。

 

根据 牛顿第二定律       F = ma ,      

 

又  加速度 是  位移  的 二阶导数,        a = d²x / dt²    ,

 

- k x = m * d²x / dt²

d²x / dt²   =   -  k / m  *  x       ,    k 、m 为 常数  ,      (1) 式 

 

(1) 式 就是 简谐运动  的 微分方程  ,   可以看到 ,    这是一个 二阶微分方程 。

 

可以这样解 :

 

d²x / dt²   =   -  k/m  *  x 

两边 乘以  2 * dx / dt  ,      2 * dx / dt  *   d²x / dt² = - k / m * x  *   2 * dx / dt

2 * dx / dt  *   d ( dx / dt ) / dt  = - k / m * x  *   2 * dx / dt

 

根据  微分公式    d ( u ² ) = 2 u du  ,       d ( ( dx / dt ) ² ) / dt  =   - k / m * x *  2 * dx / dt

两边 约去  dt ,             d ( ( dx / dt ) ² )  =  - k / m * x *  2 * dx 

两边 积分 ,               ʃ   d ( ( dx / dt ) ² )   =   ʃ   - k / m * x *  2 * dx

 ( dx / dt ) ²     =     - k / m    ʃ  x *  2 * dx

 ( dx / dt ) ²     =     - k / m   *   ( x ² + C )

 ( dx / dt ) ²     =     - k / m  *  x ²     -     k / m  *  C 

 ( dx / dt ) ²     =     - k / m  *  x ²     +     C     ,     因为  C 为 任意常数,   所以   -  k / m  *  C   仍然可以写为 C  。        (2) 式

 

 

小球 初速度 为  V₀ ,   也就是 当 t = 0 时,  dx / dt = v = V₀  。  另, 小球 初始位置 为 X₀ , 也就是 当 t = 0 时,  x = X₀  , 

即   当 t = 0 时,   dx / dt = V₀  ,  x = X₀  ,     代入  (2) 式 ,

 V₀ ²  =    - k / m  *  X₀ ²   +   C 

 C  =  V₀ ² +  k / m  *  X₀ ²  

 

把        C  =  V₀ ² +  k / m  *  X₀ ²      代回   (2) 式   ,

 ( dx / dt ) ²     =     - k / m  *  x ²     +     (  V₀ ² +  k / m  *  X₀ ²  )

 dx / dt  =   [  - k / m  *  x ²     +     (  V₀ ² +  k / m  *  X₀ ²  )  ] 开方

 dx / dt  =  ( k / m ) 开方   *   [  (  V₀ ² +  k / m  *  X₀ ²  )  m / k   -   x ²  ] 开方         (3) 式

 

令    A ²   =   (  V₀ ² +  k / m  *  X₀ ²  )  m / k    ,       则     A =  [  (  V₀ ² +  k / m  *  X₀ ²  )  m / k  ]  开方  ,

令    ω  =  ( k / m ) 开方   , 

 

将    A 、 ω   代入  (3) 式 :

 

 dx / dt   =   ω  ( A ² -  x ² ) 开方

移项,  变量分离,     1 /  ( A ² -  x ² ) 开方   dx   =   ω  dt

两边积分,        ʃ    1 /  ( A ² -  x ² ) 开方   dx   =    ʃ   ω  dt

 

根据 积分公式      ʃ  1 / ( a ² - x ² ) dx  =   arcsin ( x / a )   +   C    ,

 

 arcsin  ( x / A ) + C   =   ω t

 arcsin  ( x / A )   =   ω t  -  C

 arcsin  ( x / A )   =   ω t  +  C      (4) 式   ,      因为 C 是 任意常数,  所以,  - C 可以写成 + C

 

小球 初始位置 为 X₀ ,   即  当 t = 0 时,   x = X₀ ,     代入  (4) 式 ,

 

 arcsin  ( X₀ / A )   =   ω *  0  +  C

 arcsin  ( X₀ / A )   =   0  +  C

 C  =  arcsin  ( X₀ / A )  

 

令   ψ  =   C  =  arcsin  ( X₀ / A )    ,    代回  (4) 式 ,

 

 arcsin  ( x / A )   =   ω t  +  ψ 

 x / A   =  sin ( ω t  +  ψ )

 x  =   A  sin ( ω t  +  ψ )    

 

即         x  =   A  sin ( ω t  +  ψ )           (5) 式

 

其中,   

 ω  =  ( k / m ) 开方 

 A =  [  (  V₀ ² +  k / m  *  X₀ ²  )  m / k  ]  开方  

 ψ  =  arcsin  ( X₀ / A ) 

 

(5) 式  就是    简谐运动 微分方程 的 解,   也就是 简谐运动 的 运动方程,  反映了  位移 x 和 时间 t 的 函数关系  。

可以看到,   x 和 t  是   正弦函数  ,        如果 简谐运动 以 波 的 形式 向 远处 传播,  波形 就是 一个 正弦曲线,  这也是 正弦波  的 由来  。

 

 

 

 

 

 

posted on 2020-03-27 23:11  凯特琳  阅读(379)  评论(0编辑  收藏  举报

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