一体方程 二体方程 三体方程

我在  《人造卫星轨道 和 天体轨道 原理》    https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/11867972.html     中 提出了  一体问题 在 直角坐标系 下 的 微分方程组 ：

 

d²x / dt²  =   - G M / (x² + y²) 3/2次方  *  x

d²y / dt²  =   - G M / (x² + y²) 3/2次方  *  y

 

在 《极坐标系 下的 牛顿第二定律》    https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/11986031.html     中 提出了 一体问题 在 极坐标系 下 的 微分方程 ：

 

d²ρ / dt²  =  -  G M / ρ²  +  ( ρ dθ / dt sin dθ  +  dρ / dt cos dθ - dρ / dt  ) / dt   

 

在 《大神们 看看 这个 微分方程 怎么解》   https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12199255.html    中 又 提出了 另一种思路，  提出了 一体问题（二体问题） 的 线速度 微分方程 ：

 

dv切 = v切 cos dθ - v径 sin dθ - v切

 

在 《大神们 看看 这个 微分方程 怎么解》  中 还提到了  教科书 解 二体问题 的 方法 和 我 的 方法 的 对比 ：

“

教科书 上 的 二体问题 解法 是 以 角动量守恒 为 前提，  推出 开普勒第一定律，   即 运动质点 的 轨迹 是 椭圆，  再结合 万有引力 机械能守恒 微积分方法 来 求出 二体运动方程  。

 

本文 的 意图 是 不考虑 角动量守恒，  从 运动规律 入手，  先 解出 线速度 变化规律，   再结合 万有引力 机械能守恒 微积分方法 来 求出 二体运动方程  。

 

线速度 变化规律  应该是 二体问题 的 一个 突破口，      当然，  先得把 方程 解出来    。

”

 

以上 是 一体问题，   也可以说是 二体问题，     因为 二体问题 可以 通过 约化质量  转化为 一体问题  。   什么 是 约化质量 呢  ？

 

设 有 2 个 质点 A 、B，    质量为 M 、m，     两者 在 引力 作用下 运动，  相对于 第三方参照系，   速度 为 V 、v，  加速度 为  A 、a ，   两者间 的 引力 为  F，  根据  牛顿第二定律 ：

 

A = F / M

a = F / m    

 

如果 以 A 为 参照系，  根据 伽利略变换，   B 相对于 A 的 加速度  a ′  =   A + a，     即    a ′  =   F / M   +   F / m    ，

 

我们可以引入一个 虚拟 的 质量  m约  ，   这样，   a ′  可以表示成    a ′  =   F / m约         ，       于是 ，

 

F / m约   =   F / M   +   F / m 

1 / m约   =   1 / M   +   1 / m

1 / m约   =   ( m + M )  /  M m

m约   =   M m  /  ( m + M ) 

 

m约   =   M m  /  ( M + m )        就是  B  相对于 A 的 约化质量，    以 m约 作为 B 的 质量，  则 可以 把 A 看作  是 惯性系 ，  这样 就把 二体问题 转化成了 一体问题   。

通过 约化质量   把  二体 转化为 一体 后，   就可以用  一体 的 方法 方程 来 研究 二体    。

 

接下来 我们 来 看 三体，   简单起见，      以 二维情形 为例，      在  二维直角坐标系 下 ，

设  三个质点 的 质量 为  m1, m2, m3 ，      x 方向 速度 为  v1_x, v2_x, v3_x ，   y 方向 速度 为  v1_y, v2_y, v3_y  ，  x 坐标 为  x1, x2, x3 ，  y 坐标 为   y1, y2, y3       。

 

三体方程组 ：

 

m1 *  d²x1 / dt²  =   G * m1 m2 / [ (x2 - x1) ² + (y2 - y1) ² ] * (x2 - x1) / [ (x2 - x1) ² + (y2 - y1) ² ] 开方     +      G * m1 m3 / [ (x3 - x1) ² + (y3 - y1) ² ] * (x3 - x1) / [ (x3 - x1) ² + (y3 - y1) ² ] 开方

m1 *  d²y1 / dt²  =   G * m1 m2 / [ (x2 - x1) ² + (y2 - y1) ² ] * (y2 - y1) / [ (x2 - x1) ² + (y2 - y1) ² ] 开方     +      G * m1 m3 / [ (x3 - x1) ² + (y3 - y1) ² ] * (y3 - y1) / [ (x3 - x1) ² + (y3 - y1) ² ] 开方

m2 *  d²x2 / dt²  =   G * m2 m1 / [ (x1 - x2) ² + (y1 - y2) ² ] * (x1 - x2) / [ (x1 - x2) ² + (y1 - y2) ² ] 开方     +      G * m2 m3 / [ (x3 - x2) ² + (y3 - y2) ² ] * (x3 - x2) / [ (x3 - x2) ² + (y3 - y2) ² ] 开方

m2 *  d²y2 / dt²  =   G * m2 m1 / [ (x1 - x2) ² + (y1 - y2) ² ] * (y1 - y2) / [ (x1 - x2) ² + (y1 - y2) ² ] 开方     +      G * m2 m3 / [ (x3 - x2) ² + (y3 - y2) ² ] * (y3 - y2) / [ (x3 - x2) ² + (y3 - y2) ² ] 开方

m3 *  d²x3 / dt²  =   G * m3 m1 / [ (x1 - x3) ² + (y1 - y3) ² ] * (x1 - x3) / [ (x1 - x3) ² + (y1 - y3) ² ] 开方     +      G * m3 m2 / [ (x2 - x3) ² + (y2 - y3) ² ] * (x2 - x3) / [ (x2 - x3) ² + (y2 - y3) ² ] 开方

m3 *  d²y3 / dt²  =   G * m3 m1 / [ (x1 - x3) ² + (y1 - y3) ² ] * (y1 - y3) / [ (x1 - x3) ² + (y1 - y3) ² ] 开方     +      G * m3 m2 / [ (x2 - x3) ² + (y2 - y3) ² ] * (y2 - y3) / [ (x2 - x3) ² + (y2 - y3) ² ] 开方

 

这样写  三体方程组 不容易看懂，  可以 写成 文字式 的 方程，  就容易看懂了，  文字式 的 方程 相当于 计算机 程序  里 的  伪代码   。

 

m1 * a1_x  =   m2 对 m1 的 引力 的 x 分量     +     m3 对 m1 的 引力 的 x 分量

m2 * a1_y  =   m2 对 m1 的 引力 的 y 分量     +     m3 对 m1 的 引力 的 y 分量

m2 * a2_x  =   m1 对 m2 的 引力 的 x 分量     +     m3 对 m2 的 引力 的 x 分量

m2 * a2_y  =   m1 对 m2 的 引力 的 y 分量     +     m3 对 m2 的 引力 的 y 分量

m3 * a3_x  =   m1 对 m3 的 引力 的 x 分量     +     m2 对 m3 的 引力 的 x 分量

m3 * a3_y  =   m1 对 m3 的 引力 的 y 分量     +     m2 对 m3 的 引力 的 y 分量

 

a1_x , a1_y   是  m1  在 x , y 方向 上 的 加速度，        a2_x , a2_y   是  m2  在 x , y 方向 上 的 加速度，       a3_x , a3_y   是  m3  在 x , y 方向 上 的 加速度   。

 

可以看到，   二维平面 上 的 三体方程组 是   6 个 方程，   是  3 个 质点 在 x , y  2 个 坐标 上 的 的 运动方程，  所以是  3 * 2 = 6   个 运动方程  。

 

对于 三维空间，   还要 增加 z 坐标 上 的 运动方程，   每个 质点  对应一个 z 坐标 运动方程，  3 个 质点 就需要 增加 3 个 z 坐标 运动方程， 

所以，    三维空间  上 的  三体方程组 是   6 + 3 = 9 个 运动方程  。

也可以说，   在 三维空间 上，  每个 质点 在 x , y , z   坐标 上 每个 坐标 有一个 运动方程，  x, y, z  3 个 坐标 就 对应 3 个 运动方程，  

也就是说，   在 三维空间 上，  一个 质点  对应 3 个 运动方程，  3 个 质点  就 对应  3 * 3 = 9    个  运动方程   。

 

二维平面 上   三体方程组 的 解 是 ：          v1_x, v2_x, v3_x ，     v1_y, v2_y, v3_y  ，    x1, x2, x3 ，     y1, y2, y3

即  3 个 质点 在 时刻 t 时 的   位置 和 速度，  一共   12 个 变量，     这 12 个 变量 都是 积分，

所以，  也可以说，  二维平面 上    三体方程组 的 解 是 12 个 积分 。

 

对于 三维空间，  还要增加  z 坐标 的 速度 和 位置 ：     v1_z , v2_z , v3_z   ，     z1 , z2 , z3        。

z 坐标 的 速度 和 位置 一共 是  6 个 变量，  加上 二维平面 的 12 个 变量，     三维空间 上 的 三体方程组  的 解 是  12 + 6 = 18  个 变量，  也可以说 是  18 个 积分    。

 

也可以说，     在 三维空间 上，  一个 质点  对应 的 速度 位置 是  6 个变量 ：     v_x ,  v_y , v_z  ，    x , y , z      ，

3 个 质点  对应   3 * 6 = 18  个 变量   。

 

 

三体方程组 怎么解 ？        我们 看看 一体方程组 怎么解 就知道了 。  在 本文开头，  我们 提出了  一体 在 直角坐标系 下 的 方程组 ：

 

d²x / dt²  =   - G M / (x² + y²) 3/2次方  *  x      (1) 式

d²y / dt²  =   - G M / (x² + y²) 3/2次方  *  y      (2) 式

 

最简单 的 思路 是 代入消元法，    和 解 初等代数方程组 一样，     先把  (1) 式 里 的 x 解出来，  x 是一个 y 的 表达式，  应该是 三角函数 自然对数 等 初等函数 的 组合，   把  x  代入 到   (2) 式 ，      这样   (2) 式 就 只有   y 一个 未知数，   再 从 (2) 式 中 把 y 解出来 ，  就可以了  。

 

注意，  在 从 (1) 式 中 解 出 x 时，  是 解 微分方程，  会 进行 微分积分 计算，   此时，   应 将 y 看作 常量  ，  这样来解   。

 

把  y 看作 常量  ？           这 是 偏导数 和 偏微分 方程 ？       呵呵，   你说呢  ？

 

偏导数 是 怪胎，      偏微分方程 毫无意义 。

 

这样 能 解出   一体方程组 和 三体方程组 吗？         大家 自己 去 试试 就知道了  ，  哈哈哈哈       。

 

我后来 想了一下，    解这个 微分方程组    解 (1) 式  不能 把   y 看作 常量，      x y 相互影响， 一起变化，  所以，  x y  对于 (1) (2) 式   都是 和 微分 相关 的 变量 ，   不能 把  y 看作 常量 来解 (1) 式，  也不能 把  x 看作 常量 来解 二式   。

 

对于 微分方程组，     大概 要用 定性分析 的 方法 来 解，      就是 尝试 凑一个  或者一些 函数 看 能否 满足 方程组    。

这里收录 一篇 文章 《微分方程组解法举例》  https://wenku.baidu.com/view/b79b5df1f90f76c661371a55.html    ，    可以参考   。

 

 

坊间 流传的 说法 是  三体问题 无解，    三体问题 可不可解 ？    我在 《我写了一个 n-体 模拟程序， 大伙来看看吧》  https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/11626271.html        中 提出了   “K氏 n-体 猜想”  ：

 

“

可以发现，   n-体 运行 一小段时间以后，   就会 发生 碰撞， 或者 相互 无限远离 。     可以 通过 多次 的 演示测试 观察，  通常，  n-体 开始运行后 没有 明显 的 周期性， 并且 在 很短 的 时间 内 就 达到 了 “结局” ，   所谓 结局 就是 质点 发生 碰撞，  未 碰撞 的 质点 相互 无限远离 。

据此，  我们 可以推测，    如果 存在 一个 稳定运行 的 n-体 的 话，  那么 这个 n-体 应该是 周期性 的 。

稳定运行 是指 质点 不发生 碰撞 。

进一步， 也可以这样说，   如果 一个 n-体 是 不可碰撞 的，  那么，  这个 n-体 是 周期性 的 。

我将 这个 推测 命名 为 “K氏 n-体 猜想”  。

 

如果  K氏 n-体 猜想  成立，  那么 大刘（刘慈欣） 写的 《三体》 小说 里 三体人 居住 的 三体恒星系统 的 三体问题 就是 可以解的 。

 

三体恒星系统 存在了 很长时间，   没有 发生 碰撞，  所以 应该是 周期性 的，  既然 是 周期性 的， 就可以 观察 规律 和 预测  。

”

 

 

 

2020-05-31     补充 ：

三体 虽然 对 初始条件 敏感，  但 在 数学上，  给定一个 初始条件，  三体 的 解 是 存在的，  3 个 质点 在 某个 时间 t 的 速度 、位置 是 可以确定的 。

至少在 一段 有限 的 时间 内 是 这样 。

 

数学 找不到 办法 来 找到 这个 解，    也没有办法 把 这个 解 表示出来 。

 

三体 的 解，  以 一个 质点 在 时刻 t 的 位置 （比如 x 坐标）  来 说，   没有 固定 的 单调性， 所以 不能 表示 为 代数方程，  也没有 周期性， 所以 不能 表示为 周期函数，   具体 的 说 是 包含 三角函数 的 函数 。

但是，  按照 傅里叶级数 的 宣告，    一个 非周期函数 也可以 表示 为 傅里叶级数，   把 定义域 看作一个 周期 就可以  。

所以，  即使 三体 的 解 没有 周期性，  也 无论 多么 奇形怪状，   都 可以 表示 为 傅里叶级数  。

可以 简化一点，   在 一段 有限的时间 内，   三体 的 解 可以 表示 为 傅里叶级数   。

 

三维空间 的 三体 的 解 包含  18 个 分量，   一个 质点 有 速度 、位置，   速度 有 x, y, z  3 个 方向 的 分量，  位置 也有 x, y, z  3 个 方向  的 分量，  一个 质点 一共 2 * 3 = 6 个 分量，   三 个 质点 有 3 * 6 = 18 个 分量  。

每个 分量 可以用 一个  傅里叶级数 来 表示，   当然，  18 个 分量 就是由 18 个 傅里叶级数 来 表示  。