BZOJ 2301 HAOI2011 Problem b 莫比乌斯反演

题目链接:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2301

 

题意概述:

  对于给出的n个询问,每次求有多少个数对(x,y),满足a≤x≤b,c≤y≤d,且gcd(x,y) = k。

  1≤n≤50000,1≤a≤b≤50000,1≤c≤d≤50000,1≤k≤50000.

 

分析:

  这实际上就是莫比乌斯反演的裸题!

  但是我为什么要专门发出来呢?

  因为我想总结一下代码的问题和一般思路......

 

  首先观察题目询问,可以发现询问可以用矩形前缀和来回答。于是问题简化为给出a,b,k,求gcd(x,y)=k的数对数量,1<=x<=a,1<=y<=b。

  我们令函数,这就是我们的计算目标,但是显然这个东西求起来非常的麻烦啊!!评测不能承受之慢啊!!!

  于是我们考虑莫比乌斯反演,构造一个更加简单易求的函数F(k),F(k)可以由f(d)(F有两种考虑方向,k|d或者d|k)得到。

  考虑两种构造的方式,最后构造出来的F(k)意义为一定范围内k|gcd(x,y)的(x,y)的对数,

  其中F(k)是非常好求的,

  根据莫比乌斯反演,我们得到:,即

  可以发现其中d/k的值一定是连续的,不妨令n<=m,那么我们可以把这个柿子变成:

  同时我们发现n最多有2*sqrt(n)种被整除的结果,于是我们只需要维护一个μ的前缀和就可以大幅提高询问的效率,利用经典方法在O(sqrt(N))的时间内回答单组询问(具体讲解见代码注释)。

  时间复杂度O(N*sqrt(N))。

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstdlib>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<cmath>
 7 #include<queue>
 8 #include<set>
 9 #include<map>
10 #include<vector>
11 #include<cctype>
12 using namespace std;
13 const int maxn=50005;
14 const int maxp=5200;
15 typedef long long LL;
16 
17 int N,a,b,c,d,k;
18 int pri[maxp],tot,mu[maxn],sum[maxn]; bool ntp[maxn];
19 
20 void get_mu()
21 {
22     ntp[0]=ntp[1]=1,mu[1]=1;
23     for(int i=2;i<=50000;i++){
24         if(!ntp[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
25         for(int j=1;j<=tot&&1ll*pri[j]*i<=50000;j++){
26             ntp[pri[j]*i]=1;
27             if(i%pri[j]==0){ mu[i*pri[j]]=0; break; }
28             mu[i*pri[j]]=-mu[i];
29         }
30     }
31     for(int i=1;i<=50000;i++) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
32 }
33 LL calc(int n,int m)
34 {
35     if(n>m) swap(n,m);
36     n/=k,m/=k;
37     LL re=0;
38     for(int i=1,last=0;i<=n;i=last+1){
39         last=min(n/(n/i),m/(m/i));//令x=n/i,那么可以发现n/x=max{i|n/i=x},只要n/i和m/i中间有一个变化了F(d)就会改变,所以取min。
40         re+=1ll*(sum[last]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);//因为n最多被乘除的结果最多有2*sqrt(N)种,所以单次询问复杂度O(sqrt(N))。
41     }
42     return re;
43 }
44 int main()
45 {
46     freopen("test.in","r",stdin);
47     freopen("test.out","w",stdout);
48     get_mu();
49     scanf("%d",&N);
50     for(int i=1;i<=N;i++){
51         scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
52         printf("%lld\n",calc(b,d)-calc(a-1,d)-calc(b,c-1)+calc(a-1,c-1));
53     }
54     return 0;
55 }
View Code

 

posted @ 2018-03-27 17:49  KKKorange  阅读(...)  评论(...编辑  收藏