河工大第一届校赛 D.公园游玩（组合数计算）

• 题目：公园游玩
• 题意：依次经过k个点，求出其最短总路径的方案数.
• 题解：点A（x1，y1）到点B（x2, y2）的最短距离方案数为（高中组合知识：距离为n，向下走m次到达目的地最短距离的方案数）：

n = x2 - x1 + y2 - y1
m = x2 - x1
C（n， m） = n! / (m! * (n - m)!) 

1. 乘法逆元知识点
2. 因为此题求的模为质数，所以可用预处理方式处理阶乘与阶乘逆元（最后要求余数），式子转换成：

C（n， m） = n! * infact(m) * infact(n-m)

3. 最后答案取模需要注意：a * b % mod = (a % mod * b % mod) % mod，若a < mod & b < mod可以不用化简，可以直接使用 a * b % mod，因为两者效果一致，可以发现a < mod 此时a % mod = a，所以没必要...接着依次累推下去，若a * b * c % mod， 可以把a * b看成一个整体,先做一个取模a * b % mod，并令为x，按照上面的步骤依次累推，可以发现只要每两个数相乘取一次模即可.

• 代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 2e5 + 5;
ll n, m, k, ans = 1;
ll fact[N], infact[N]; //阶乘求余后的结果,阶乘的逆元求余后的结果
struct Node
{
    ll x, y;
}g[N];
ll qpow(ll a, ll x, ll p)
{
    ll res = 1;
    while(x)
    {
        if(x & 1) res = res * a % p;
        a = a * a % p;
        x >>= 1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    cin >> n >> m >> k;
    g[0].x = 1, g[0].y = 1;
    for(ll i = 1; i <= k; i++)
        cin >> g[i].x >> g[i].y;
    ++ k;
    g[k].x = n, g[k].y = m;
    //预处理阶乘的余数与阶乘逆元的余数
    fact[0] = 1, infact[0] = 1;
    for(ll i = 1; i <= N - 5; i++)
    {
        fact[i] = i * fact[i-1] % mod;
        infact[i] = qpow(fact[i], mod - 2, mod);
    }
    for(ll i = 1; i <= k; i++)
    {
        ll dx = abs(g[i].x - g[i-1].x);
        ll dy = abs(g[i].y - g[i-1].y);
        ll sum = dx + dy;
        ans =  ans  * fact[sum] % mod * infact[dx] % mod * infact[sum - dx] % mod; //C(sum, dx) = (sum! / dx! * ( (sum - dx)!) )
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}