欧拉定理及其推论、拓展欧拉定理
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欧拉定理
对于任意互质的正整数对 \(gcd(a,m)=1\) 则 \(a^{\boldsymbol\varphi(m)}\equiv 1(\mod m)\)
证明：对于 \(\forall m\in Z_+\)
当 \(m=1\) 时 \(a^{\boldsymbol \varphi(1)}\equiv a\equiv 0\equiv 1(\mod 1)\)
否则，由于 \(m\) 有 \(\boldsymbol \varphi(m)\) 个简化剩余类
所以设从其简化剩余类中各取一个数构成一个集合 \(B\) ，设其中的 \(\boldsymbol \varphi(m)\) 个元素分别为 \(b_{1\cdots \boldsymbol \varphi(m)}\)
我们可以知道，像费马小定理一样，对于与 \(m\) 互质的 \(a\) ， 一定存在 \(b_i,b_j(i\neq j)\) 使得 \([ab_i]=[b_j]\)
因此 \(\displaystyle \prod_{i=1}^{\boldsymbol \varphi(m)}(ab_i)\equiv \prod_{j=1}^{\boldsymbol\varphi(m)}b_j(\mod m)\)
因此 \(\displaystyle \prod_{i=1}^{\boldsymbol \varphi(m)}b_i\equiv (\prod_{i=1}^{\boldsymbol \varphi(m)} b_i)\cdot (\prod_{i=1}^{\boldsymbol \varphi(m)} a)(\mod m)\)
由于 \(\displaystyle \prod_{i=1}^{\boldsymbol \varphi(m)}\not\equiv 0(\mod m)\)
故得到 \(\displaystyle a^{\boldsymbol \varphi(m)}\equiv 1(\mod m)\)
证毕
进一步可以得到，实际上，费马小定理即为欧拉定理在 \(m\) 为质数时的特例
欧拉定理的推论
同费马小定理一样，可以得到：
对 \(\forall gcd(a,m)=1,a,m,n\in Z_+\) 都有 \(a^n\equiv (a\mod m)^{(n\mod \boldsymbol\varphi(m)\ )}(\mod m)\)
拓展欧拉定理
对 \(\forall a,m,n\in Z_+\) 当 \(n\geq \boldsymbol \varphi(m)\) 时 \(a^n\equiv a^{(n\mod \boldsymbol \varphi(m)\ )+\boldsymbol\varphi(m)}(\mod m)\)
我们令 \(a=b\times c,gcd(a,m)=b\) 故 \(gcd(c,m)=1\)
因此 \(a^n\equiv b^n\cdot c^n(\mod m)\)
由于 \(gcd(c,m)=1\) 因此 \(c^n\equiv c^{(n\mod \boldsymbol \varphi(m)\ )}\equiv c^{(n\mod \boldsymbol \varphi(m)\ )}\cdot 1\equiv c^{(n\mod \boldsymbol \varphi(m)\ )}\cdot c^{\boldsymbol \varphi(m)}\equiv c^{(n\mod \boldsymbol \varphi(m)\ )+\boldsymbol \varphi(m)}(\mod m)\)
而我们假设 \(\displaystyle b=\prod_{i=1}^k p_i^{t_i},p_i\in Prime,t_i\in Z_+\)
则不妨设对 \(\forall i\in[1,k]\bigcap Z,m=p_i^{t_i}\cdot d\)
则 \(gcd(p_i^{t_i},d)=1\) 得 \(gcd(p_i,d)=1\)
因此 \(1\equiv p_i^{\boldsymbol \varphi(d)}\equiv (p_i^{\boldsymbol\varphi(d)})^{\boldsymbol\varphi(p_i^{t_i})}\equiv p_i^{\boldsymbol\varphi(d)\cdot \boldsymbol\varphi(p_i^{t_i})}\equiv p_i^{\boldsymbol\varphi(m)}(\mod d)\)
设 \(p_i^{\boldsymbol\varphi(m)}=g\cdot d+1\)
因此 \(p_i^{\boldsymbol\varphi(m)+t_i}=p_i^{\boldsymbol\varphi(m)}\cdot p_i^{t_i}=g\cdot m+p_i^{t_i}\)
故 \(p_i^{\boldsymbol\varphi(m)+t_i}\equiv p_i^{t_i}(\mod m)\)
因此当 \(n>t_i\) 时 \(p_i^n\equiv p_i^{n-t_i}\cdot p_i^{t_i}\equiv p_i^{n-t_i}\cdot p_i^{\boldsymbol\varphi(m)+t_i}\equiv p_i^{n+\boldsymbol\varphi(m)}(\mod m)\)
我们把这个式子倒过来：
当 \(n>t_i+\boldsymbol\varphi(m)\) 时 \(p_i^n\equiv p_i^{n-\boldsymbol\varphi(m)}(\mod m)\)
由于 \(t_i+1=\boldsymbol\varphi(p_i^{t_i})\leq \boldsymbol\varphi(m)\)
因此 \(n\geq t_i+\boldsymbol\varphi(m)+1\)
故 \(n\geq 2 \boldsymbol\varphi(m)\) 时 \(p_i^n\equiv p_i^{n-\boldsymbol\varphi(m)}(\mod m)\)
最后因为 \(n-\boldsymbol\varphi(m)\geq \boldsymbol\varphi(m),(n\mod \boldsymbol\varphi(m)\ )+\boldsymbol\varphi(m)\geq \boldsymbol\varphi(m)\)
所以 \(p_i^n\equiv p_i^{(n\mod \boldsymbol\varphi(m)\ )+\boldsymbol\varphi(m)}(\mod m),n\geq \boldsymbol\varphi(m)\)
两端把质因数累计起来：
\(\displaystyle b^n\equiv \prod_{i=1}^kp_i^n\equiv \prod_{i=1}^kp_i^{(n\mod \boldsymbol\varphi(m)\ )+\boldsymbol\varphi(m)}\equiv b^{(n\mod \boldsymbol\varphi(m)\ )+\boldsymbol\varphi(m)}(\mod m),n\geq \boldsymbol \varphi(m)\)
最后将 \(b,c\) 乘起来
\(a^n\equiv b^n\cdot c^n\equiv b^{(n\mod \boldsymbol \varphi(m)\ )+\boldsymbol \varphi(m)}\cdot c^{(n\mod \boldsymbol \varphi(m)\ )+\boldsymbol \varphi(m)}\equiv a^{(n\mod \boldsymbol \varphi(m)\ )+\boldsymbol \varphi(m)}(\mod m),n\geq \boldsymbol \varphi(m)\)
证毕
当然，成立的前提条件已经给出了： \(n\geq \boldsymbol \varphi(m)\)
这个条件不成立时，原式是不成立的
归纳
根据拓展欧拉定理，对于 \(m\) ，所有数的任意次方，都可优化到 \(O(\log m)\)
根据公式：
\(a^n\mod m= \begin{cases} (a\mod m)^n,n<\boldsymbol \varphi (m) \\\ \\ (a\mod m)^{(n\mod \boldsymbol \varphi(m)\ )+\boldsymbol \varphi(m)},n\geq \boldsymbol \varphi(m) \end{cases}\)
因此，次数最多不超过 \(2\boldsymbol \varphi(m)\leq 2m\)
用快速幂的求解，可以优化到 \(O(\log m)\)
