复习笔记-动态规划

关于DP的总结与心得（实时更新）

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DP可以算是最灵活多变的一种题型，没有固定的算法或者公式，重点在于熟悉每个类型的基本模板。

类型（一）——背包问题

背包问题是我们最早接触的DP类型，类型有很多，今年的真题D1T2就可以看成一个完全背包。

 

01背包

传送门

在这类问题里面，对于每种物品有c_i和w_i两个值，并且只有选择和不选择两种状态，需要求出在有限的Σc中使Σw最大

状态转移方程：f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i - 1][j - c_i] + w_i) i表示计算到第i个物品，j为当前背包容量

这样的问题，标准思路是开一个二维数组，但是由于每个数据只和上一行有关，可以使用滚动数组，但是更好的办法是降维。

如何降维？

我们假设f[i]表示刚好装满i空间时的最大价值，j为当前状态，那么关于任何一个物品，f[i + ci] = max(f[i + c_j], f[i] + w_j)

注意：每一次装包时要从后往前，不然相同物品会被重复放入，最后输出答案不能直接输出f[m]，而是输出f[1]到f[m]的最大值

其他背包问题

完全背包：每个物品选取任意次，传送门，正向遍历即可

组合背包：有些物品选取时必须选取另一种物品，基础方程的max中考虑这些情况即可 传送门

部分背包：每个物品可以选取非整数个，c与w成比例，这个最简单，直接求性价比然后贪心就o98k了

多维背包：背包容量有多个参数，这玩意还是记忆化搜索比较靠谱，传送门 传送门

 

类型（二）——线性动归

典型模板：最长上升子序列

这个就比较简单了，对于每个状态f[i]，在f[1]到f[i - 1]中选取最大值加一即可

例题：导弹拦截 合唱队形

类型（三）——树形动归

这种问题一般分为两种，我暂且将它成为邻居问题和裁剪问题

邻居问题

大意：当一个节点被标记后，它的邻居节点就会被覆盖，求覆盖整个树的最少标记

这种问题说白了只能记忆化搜索，因为你遍历一棵树也是基于DFS的操作

例题：P2016 P2899

裁剪问题

对树进行裁剪，只能删除，不能改变以前的结构，在留下的边权在m之内，使剩余点权最大

这种问题可以当做背包来考虑，但是要从叶子往根判断

例题：P2015 P2014

类型（四）——区间动归

这种问题大体思路就是枚举区间长度，然后在区间内按照题意模拟即可

例题：P1880

类型（五）——状压动归

这种问题一般是在一个二维矩阵上，修改一个点一般会对上下左右的点产生影响，一般我们使用一个二进制数存一行的状态（每一位01表示是否覆盖），然后与上一行与，左右位运算再与上一行与，看是否为零来判断有没有互相影响，这样就能把状态压缩到一行。

例题：P1896 P1879

类型（六）——单调队列与斜率优化

单调队列

这种问题一般是区间最值，一般使用一个队列，把小于后点的前点删掉，过期点删掉，每次就可以只考虑队尾

例题：P1886 P1725

斜率优化（这玩意我其实也讲不明白是怎么肥四）

斜率优化：对于一些特殊的DP，它的状态转移方程可以转换成一次函数的形式，然后用单调队列处理它每个状态的斜率（图像上凸的点删掉），就可以省略掉很多状态，然后移动截距即可

例题：P2365

 一点心得——记忆化搜索

第一眼看到动规的题，如果想不出思路，一定要用Dfs打一个暴力，但是在打完暴力之后，也许修改一下Dfs，就可以成为复杂度正确的记忆化搜索

以下内容from LSY

以这道题为例：传送门

这是一个典型的Dfs暴力程序：

int n,t;
int tcost[103],mget[103];
int ans = 0;
void dfs( int pos , int tleft , int tans ){
    if( tleft < 0 ) return;
    if( pos == n+1 ){
        ans = max(ans,tans);
        return;
    }
    dfs(pos+1,tleft,tans);
    dfs(pos+1,tleft-tcost[pos],tans+mget[pos]);
}
int main(){
    cin >> t >> n;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        cin >> tcost[i] >> mget[i];
    dfs(1,t,0);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

　　然后开一个二维数组，修改一下Dfs函数，就成为了记忆化

int n,t;
int tcost[103],mget[103];
int mem[103][1003];
int dfs(int pos,int tleft){
    if( mem[pos][tleft] != -1 ) return mem[pos][tleft];
    if(pos == n+1)
        return mem[pos][tleft] = 0;
    int dfs1,dfs2 = -INF;
    dfs1 = dfs(pos+1,tleft);
    if( tleft >= tcost[pos] )
        dfs2 = dfs(pos+1,tleft-tcost[pos]) + mget[pos];
    return mem[pos][tleft] = max(dfs1,dfs2);
}
int main(){
    memset(mem,-1,sizeof(mem));
    cin >> t >> n;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        cin >> tcost[i] >> mget[i];
    cout << dfs(1,t) << endl;
    return 0;
}

　

　　优点：好想

　　缺点：没法使用滚动数组，要是内存占用大的话只能考虑降低维度