非旋 treap 结构体数组版(无指针)详解,有图有真相

非旋  $treap$ (FHQ treap)的简单入门

 

前置技能

建议在掌握普通 treap 以及 左偏堆(也就是可并堆)食用本blog

原理

以随机数维护平衡,使树高期望为logn级别, FHQ 不依靠旋转,只有两个核心操作merge(合并)和split(拆分)

所谓随机数维护平衡就是给每个节点一个随机值 key (下文中没有加随机的就代表是真实权值),

然后整棵树中 key 值要满足小(大)根堆的性质(也就是heap),

同时也要满足平衡树(tree)的性质(也就是每个节点左子树内节点真实权值小于它,右子树相反)

然后这个玩意儿就有了一个草率的名字:treap (tree 和 heap 的结合体)

结构体变量介绍

 

 1 int Rand() {  //伪随机函数,能让代码稍微变快
 2     static int seed=703;
 3     return seed=int(seed*48271LL%(~0u>>1));
 4 }
 5 struct Node {
 6     int val,key,siz,ch[2];
 7 // val 真实权值,key 随机权值,siz 子树大小 , ch 左右子节点
 8     void clear() {  //清空操作
 9         ch[0]=ch[1]=siz=val=key=0;
10     }
11 } t[M];
12 int update(int now){ //更新操作
13     t[now].siz=t[t[now].ch[0]].siz+t[t[now].ch[1]].siz+1;
14 }
veiw code

 

 

核心操作

merge操作

 

模型实现

 

假设有两颗子树x,y,且 x 的所有节点的值都小于 y 的所有节点的值,随机权值 key 都以小根堆的形式存储。

 

此时要合并 x , y 。我们先比较它们的根的随机权值,发现1<3,因为要满足小根堆性质,于是 x 的左子树全部不变,让它的右子树继续和 y 合并。

这时我们发现,随机权值 key 5>3,所以 y 接到 rot 的下方,成为 rot 的右儿子,y的右子树全部不变,让y的左子树继续和x合并(以满足平衡树的性质)。

由于5>4,所以y和y的右子树作为rot的左儿子,y的左子树继续和x合并。

5<7,所以接入x和它的左子树作为rot的左儿子。

至此,我们发现 x 为 0 ,所以直接返回 y ,合并结束。

 

代码实现

 1 int merge(int u,int v) { // 此时 u 中节点权值均小于 v 中节点权值 
 2     if(!u || !v) return u|v;  //某节点为空,直接返回另一节点 
 3     if(t[u].key<t[v].key) { //以此满足 heap 性质 
 4         t[u].ch[1]=merge(t[u].ch[1],v); // u 右子节点与 v 合并, 以满足平衡树性质 
 5         update(u); return u;
 6     } else {
 7         t[v].ch[0]=merge(u,t[v].ch[0]); // u 与 v 左子节点合并, 以满足平衡树性质 
 8         update(v); return v;
 9     }
10 }
view code

 

 

split操作

split有两种拆分方式:

  1. 按权值大小拆分

  2. 按排名大小拆分。

 

模型实现

 

1.按权值split

首先得有个基准值 a ,即权值小于等于 a 的节点全部进入左树(下图中会将此类节点染红),大于a的节点全部进入右树(下图中会将此类节点染蓝)。这里以a=25为例。

首先,发现rot的权值=15<25,由平衡树的性质可知,rot的左子树所有节点权值一定小于25,所以rot和它的的左子树全部进入左树,继续拆分rot的右子树。

32>25,所以 rot 和它的右子树全部进入右树,继续拆分 rot 的左子树。

29>25,同上。

24<25,所以拆分右子树。

27>25,所以拆分左子树。

发现此时rot为0,所以拆分完毕,返回。

2.按排名split

就是把前 k 个节点拆入左树,其它节点拆入右树。这里以k=5为例。

rot的左子树的siz+1=3<5,所以rot和它的左子树进入左树,其他节点拆分5-3=2个节点进入左树。

4+1>2,所以rot和右子树进入右树,其它节点继续拆分出2个节点进入左树。

3+1>2,同上。

1+1=2,所以rot和左子树进入左树,其它节点继续拆分2-2=0个节点进入左树。

1+0>0,所以rot和右子树进入右树,其它节点继续拆分0个节点进入左树。

rot为0,拆分结束。

 

代码实现

 

1.按权值split

1 void split_val(int now,int k,int& x,int& y) {
2     if(!now) return (void)(x=y=0); //节点为空, return 
3     if(t[now].val<=k) //当前节点和它的左子树都满足进入左树的条件 
4         x=now,split_val(t[now].ch[1],k,t[now].ch[1],y);
5     else //当前节点和它的右子树都满足进入右树的条件 
6         y=now,split_val(t[now].ch[0],k,x,t[now].ch[0]);
7     update(now);
8 }
view code

 

 

2.按排名split

1 void split_k(int now,int k,int& x,int& y) { //与按权值 split 类似 
2     if(!now) return (void)(x=y=0);
3     update(now);
4     if(t[t[now].ch[0]].siz<k)
5         x=now,split_k(t[now].ch[1],k-t[t[now].ch[0]].siz-1,t[now].ch[1],y);
6     else
7         y=now,split_k(t[now].ch[0],k,x,t[now].ch[0]);
8     update(now);
9 }
view code

 

 

 

 

其他操作

FHQ treap 的核心操作只有 merge 和 split 两个,其他操作都是基于这两个操作实现的。

插入

插入权值为 x 的节点时,先新建一个节点,再以 x 为界按权值 split 整棵树为a,b,再按顺序 merge a,x,b。

 

代码实现

1 void ins(int x) {
2     int u,a,b;
3     t[u=++cnt].key=Rand();
4     t[u].val=x,t[u].siz=1;
5     split_val(root,x,a,b);
6     root=merge(merge(a,u),b);
7 }
view code

 

 

删除

要删除x,先将整棵树以 x-1 为界按权值split 成a和b,再将 b 以 1 为界 按排名split 成c和d,则 c 就是要删除的节点。最后按顺序merge a,b,d。

(当然,这是在要删除节点必定存在的情况下才能进行的操作,不存在的情况请自行脑补) 

 

代码实现

1 void del(int x) {
2     int a,b,c,d;
3     split_val(root,x-1,a,b);
4     split_k(b,1,c,d);
5     t[c].clear(),root=merge(a,d);
6 }
view code

 

 

查询 x 的排名

先将整棵树以x-1按权值split成a和b,则a的siz+1即为x的排名。

 

代码实现

1 int get_rank(int x) {
2     int a,b,c;
3     split_val(root,x-1,a,b);
4     c=t[a].siz+1;
5     root=merge(a,b);
6     return c;
7 }
view code

 

 

查询排名为 k 的值

先split出整棵树前k-1小节点,则右树最小节点即为所求节点,再次split 即可。

 

代码实现

1 int get_val(int& now,int x) {
2     int a,b,c,d,e;
3     split_k(now,x-1,a,b);
4     split_k(b,1,c,d);
5     e=t[c].val;
6     now=merge(a,merge(c,d));
7     return e;
8 }
view code

 

 

查x前驱

将整棵树以x-1按权值split,左树中最大节点即为所求节点,转入第x小值问题。

 

代码实现

1 int pre(int x) {
2     int a,b,c;
3     split_val(root,x-1,a,b);
4     c=get_val(a,t[a].siz);
5     root=merge(a,b);
6     return c;
7 }
view code

 

 

查x后继

将整棵树以x按权值split,右树中最小节点即为所求节点,转入第x小值问题。

 

代码实现

1 int sub(int x) {
2     int a,b,c;
3     split_val(root,x,a,b);
4     c=get_val(b,1);
5     root=merge(a,b);
6     return c;
7 }
view code

 

 

非旋 Treap的其他作用

非旋 trap 是支持区间操作的,具体其实就是你把原来的一棵树 split 成 3 棵树($1~l-1,l~r,r+1~n$),然后 我们对中间那棵树进行操作即可,具体代码不附上了

 

例题

洛谷P3369【模板】普通平衡树

 

代码

  1 //by Judge
  2 #include<iostream>
  3 #include<cstdio>
  4 using namespace std;
  5 const int M=1e5+111;
  6 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
  7 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
  8 inline int read(){
  9     #define num ch-'0'
 10     char ch;bool flag=0;int res;
 11     while(!isdigit(ch=getc()))
 12     (ch=='-')&&(flag=true);
 13     for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num);
 14     (flag)&&(res=-res);
 15     #undef num
 16     return res;
 17 }
 18 char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z;
 19 inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
 20 inline void print(int x){
 21     if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]=45,x=-x;
 22     while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
 23     while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
 24 }
 25 int n,cnt,root;
 26 int Rand() {
 27     static int seed=703;
 28     return seed=int(seed*48271LL%(~0u>>1));
 29 }
 30 struct Node {
 31     int val,key,siz,ch[2];
 32     void clear() {
 33         ch[0]=ch[1]=siz=val=key=0;
 34     }
 35 } t[M];
 36 int update(int now){
 37     t[now].siz=t[t[now].ch[0]].siz+t[t[now].ch[1]].siz+1;
 38 }
 39 int merge(int u,int v) { 
 40     if(!u || !v) return u|v; 
 41     if(t[u].key<t[v].key) {
 42         t[u].ch[1]=merge(t[u].ch[1],v); 
 43         update(u); return u;
 44     } else {
 45         t[v].ch[0]=merge(u,t[v].ch[0]); 
 46         update(v); return v;
 47     }
 48 }
 49 void split_val(int now,int k,int& x,int& y) {
 50     if(!now) return (void)(x=y=0); 
 51     if(t[now].val<=k) 
 52         x=now,split_val(t[now].ch[1],k,t[now].ch[1],y);
 53     else 
 54         y=now,split_val(t[now].ch[0],k,x,t[now].ch[0]);
 55     update(now);
 56 }
 57 void split_k(int now,int k,int& x,int& y) {
 58     if(!now) return (void)(x=y=0);
 59     update(now);
 60     if(t[t[now].ch[0]].siz<k)
 61         x=now,split_k(t[now].ch[1],k-t[t[now].ch[0]].siz-1,t[now].ch[1],y);
 62     else
 63         y=now,split_k(t[now].ch[0],k,x,t[now].ch[0]);
 64     update(now);
 65 }
 66 void ins(int x) {
 67     int u,a,b;
 68     t[u=++cnt].key=Rand();
 69     t[u].val=x,t[u].siz=1;
 70     split_val(root,x,a,b);
 71     root=merge(merge(a,u),b);
 72 }
 73 void del(int x) {
 74     int a,b,c,d;
 75     split_val(root,x-1,a,b);
 76     split_k(b,1,c,d);
 77     t[c].clear(),root=merge(a,d);
 78 }
 79 int get_rank(int x) {
 80     int a,b,c;
 81     split_val(root,x-1,a,b);
 82     c=t[a].siz+1;
 83     root=merge(a,b);
 84     return c;
 85 }
 86 int get_val(int& now,int x) {
 87     int a,b,c,d,e;
 88     split_k(now,x-1,a,b);
 89     split_k(b,1,c,d);
 90     e=t[c].val;
 91     now=merge(a,merge(c,d));
 92     return e;
 93 }
 94 int pre(int x) {
 95     int a,b,c;
 96     split_val(root,x-1,a,b);
 97     c=get_val(a,t[a].siz);
 98     root=merge(a,b);
 99     return c;
100 }
101 int sub(int x) {
102     int a,b,c;
103     split_val(root,x,a,b);
104     c=get_val(b,1);
105     root=merge(a,b);
106     return c;
107 }
108 int main() {
109     n=read(); int opt,x;
110     while(n--){
111         opt=read(),x=read();
112         switch(opt){
113             case 1: ins(x); break;
114             case 2: del(x); break;
115             case 3: print(get_rank(x)); break;
116             case 4: print(get_val(root,x)); break;
117             case 5: print(pre(x)); break;
118             case 6: print(sub(x)); break;
119         }
120     } Ot(); return 0;
121 }
view code

 

 

 然后这是压过行了的:

 1 //by Judge
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstdio>
 4 using namespace std;
 5 const int M=1e5+111;
 6 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 7 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
 8 inline int read(){
 9     #define num ch-'0'
10     char ch;bool flag=0;int res;
11     while(!isdigit(ch=getc()))
12     (ch=='-')&&(flag=true);
13     for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num);
14     (flag)&&(res=-res);
15     #undef num
16     return res;
17 }
18 char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z;
19 inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
20 inline void print(int x){
21     if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]=45,x=-x;
22     while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
23     while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
24 }
25 int n,cnt,root;
26 struct Node {
27     int val,key,siz,ch[2];
28     void clear() { ch[0]=ch[1]=siz=val=key=0; }
29 } t[M];
30 int Rand() { static int seed=703; return seed=int(seed*48271LL%(~0u>>1)); }
31 int update(int now){ t[now].siz=t[t[now].ch[0]].siz+t[t[now].ch[1]].siz+1; }
32 int merge(int u,int v) {
33     if(!u || !v) return u|v;
34     if(t[u].key<t[v].key) { t[u].ch[1]=merge(t[u].ch[1],v),update(u); return u; }
35     else { t[v].ch[0]=merge(u,t[v].ch[0]),update(v); return v; }
36 }
37 void split_val(int now,int k,int& x,int& y) {
38     if(!now) return (void)(x=y=0);
39     if(t[now].val<=k) split_val(t[x=now].ch[1],k,t[now].ch[1],y);
40     else split_val(t[y=now].ch[0],k,x,t[now].ch[0]);
41     update(now);
42 }
43 void split_k(int now,int k,int& x,int& y) { 
44     if(!now) return (void)(x=y=0);
45     if(t[t[now].ch[0]].siz>=k) split_k(t[y=now].ch[0],k,x,t[now].ch[0]);
46     else split_k(t[x=now].ch[1],k-t[t[now].ch[0]].siz-1,t[now].ch[1],y);
47     update(now);
48 }
49 void ins(int x) { int u,a,b; t[u=++cnt].key=Rand(),t[u].val=x,t[u].siz=1,split_val(root,x,a,b),root=merge(merge(a,u),b); }
50 void del(int x) { int a,b,c,d; split_val(root,x-1,a,b),split_k(b,1,c,d),t[c].clear(),root=merge(a,d); }
51 int get_rank(int x) { int a,b,c; split_val(root,x-1,a,b),c=t[a].siz+1,root=merge(a,b); return c; }
52 int get_val(int& now,int x) { int a,b,c,d,e; split_k(now,x-1,a,b),split_k(b,1,c,d),e=t[c].val,now=merge(a,merge(c,d)); return e; }
53 int pre(int x) { int a,b,c; split_val(root,x-1,a,b),c=get_val(a,t[a].siz),root=merge(a,b); return c; }
54 int sub(int x) { int a,b,c; split_val(root,x,a,b),c=get_val(b,1),root=merge(a,b); return c; }
55 int main() {
56     n=read(); int opt,x;
57     while(n--){
58         opt=read(),x=read();
59         switch(opt){
60             case 1: ins(x); break;
61             case 2: del(x); break;
62             case 3: print(get_rank(x)); break;
63             case 4: print(get_val(root,x)); break;
64             case 5: print(pre(x)); break;
65             case 6: print(sub(x)); break;
66         }
67     } Ot(); return 0;
68 }
view code

 

 

推荐题目

题目

洛谷 ——  列队

 

分析

首先我们分析一下这个列队的性质;

首先每次操作时,先让一个人 (a,b) 出队  。

然后右边的人跟上来,空缺的位置变成了 (a,m)   (也就是在一棵平衡树中删除了一个节点)

 

 

 

最后其实也就是最后一列的跟到上面,空缺的位置变成 (n,m) ,然后出队的人到这个位置上

 

 

 

于是非常显然的,题目就是要你维护 n 棵平衡树,

但是看看数据范围:3e5  ...  于是发现这题不可做

那么我萌就要用到一个巧妙的思路—— 缩点与拆点  了。

什么意思? 你再看眼数据范围:3e5  ...  没毛病?

对啊,询问也是  3e5  啊...  所以说我们是不是维护了许多用都用不到的点呢?

于是我们把一大段区间的没用的点缩成一个点,让这个点记录区间左右信息就好了咯。

emmm...你说的没错,我们怎么知道哪些点该缩哪些点不该缩呢?

简单,我们点全都缩起来,要用的时候再拆出来不就好了?

然后还要注意的就是最后一列的特殊性,要单独维护(也就 3e5 个点嘛,开得下),

这点从图中应该也看得出来(何况这些点并不属于一个区间!)

于是愉快地上代码...

 

 

 

代码

 1 //by Judge
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstdio>
 4 #define ll long long
 5 #define int long long
 6 using namespace std;
 7 const int M=3e5+111;
 8 #define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)    // 手动输入需要去掉这句话 
 9 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
10 inline int read(){ 
11     int x=0,f=1; char c=getchar();
12     for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
13     for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0'; return x*f;
14 }
15 char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z;
16 inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
17 inline void print(int x){
18     if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]=45,x=-x;
19     while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
20     while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
21 }
22 ll n,m,q,cnt,root,rt[M];
23 struct Node { int key,ch[2]; ll l,r,siz; } t[M<<4];
24 inline int Rand() { static int seed=703; return seed=(ll)(seed*48271LL%(~0u>>1)); }
25 inline int update(int now){ t[now].siz=t[t[now].ch[0]].siz+t[t[now].ch[1]].siz+t[now].r-t[now].l+1; }
26 inline int newnode(ll x,ll y) { int u=++cnt; t[u].l=x,t[u].r=y,t[u].siz=y-x+1,t[u].key=Rand(); return u; }
27 int merge(int u,int v) {
28     if(!u || !v) return u|v;
29     if(t[u].key<t[v].key) { t[u].ch[1]=merge(t[u].ch[1],v),update(u); return u; }
30     else { t[v].ch[0]=merge(u,t[v].ch[0]),update(v); return v; }
31 }
32 void split_new(ll now,ll k){  //把一个节点拆成两个节点 
33     if(k>=t[now].r-t[now].l+1) return ; int nw=newnode(t[now].l+k,t[now].r);
34     t[now].r=t[now].l+k-1,t[now].ch[1]=merge(nw,t[now].ch[1]),update(now);
35 }
36 void split(int now,int k,int& x,int& y) {  //常规操作 
37     if(!now) return (void)(x=y=0);
38     if(t[t[now].ch[0]].siz>=k) split(t[y=now].ch[0],k,x,t[now].ch[0]);
39     else{
40         split_new(now,k-t[t[now].ch[0]].siz),k-=t[t[now].ch[0]].siz,
41         split(t[x=now].ch[1],k-(t[now].r-t[now].l+1),t[now].ch[1],y);
42     } update(now);
43 }
44 signed main(){
45     n=read(),m=read(),q=read();
46     for(ll i=1;i<=n;++i)
47         rt[i]=newnode((i-1)*m+1,i*m-1);
48     for(ll i=1;i<=n;++i)
49         rt[n+1]=merge(rt[n+1],newnode(i*m,i*m));
50     while(q--){
51         ll a=read(),b=read(),x,y,z;
52         if(b^m){
53             ll xx,yy,zz; split(rt[a],b,x,y),
54             split(x,b-1,x,z),print(t[z].l),
55             split(rt[n+1],a,xx,yy),split(xx,a-1,xx,zz);
56             rt[a]=merge(merge(x,y),zz),rt[n+1]=merge(merge(xx,yy),z);  //拆完合并 
57         }
58         else{
59             split(rt[n+1],a,x,y),split(x,a-1,x,z);
60             print(t[z].l),rt[n+1]=merge(merge(x,y),z);
61         }
62     } Ot(); return 0;
63 }
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最后感谢 axjcy 大佬的 blog 

posted @ 2018-08-20 17:49 Jμdge 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏