bzoj2705 [SDOI2012]Longge的问题

bzoj2705 [SDOI2012]Longge的问题

求 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\gcd(i,n)\)

\(n\leq2^{32}\)

数论

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首先考虑将原式化为 $$\displaystyle\sum_{k|n}\sum_{i=1}^{\frac{n}{k}}{[\gcd(i,\frac{n}{k})=1]}$$

我们发现右边其实就是欧拉函数，即 $$\displaystyle\sum_{k|n}\varphi(\frac{n}{k})$$

然后就直接求就好辣

注意 \(long\ long\)，以及完全平方数的特判

时间复杂度 \(O(\sqrt n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
ll n;

ll get_phi(ll x) {
  int t = sqrt(x); ll res = x;
  for (int i = 2; i <= t; i++) {
    if (x % i == 0) {
      res = res / i * (i - 1);
      while (x % i == 0) x /= i;
    }
  }
  return x > 1 ? res / x * (x - 1) : res;
}

int main() {
  scanf("%lld", &n);
  int t = sqrt(n); ll ans = 0;
  for (int i = 1; i <= t; i++) {
    if (n % i == 0) {
      ans += i * get_phi(n / i) + n / i * get_phi(i);
    }
  }
  if (1ll * t * t == n) ans -= t * get_phi(t);
  printf("%lld", ans);
  return 0;
}