【树】力扣101：对称二叉树

给你一个二叉树的根节点 root ， 检查它是否轴对称。

示例：

输入：root = [1,2,2,3,4,4,3]
输出：true

判断一个树是否对称 等价于 判断左右子树是否镜像对称。因此，该问题可以转化为：两个树在什么情况下互为镜像？

如果同时满足下面的条件，两个树互为镜像：

• 它们的两个根结点具有相同的值

• 每个树的右子树都与另一个树的左子树镜像对称

参考：https://leetcode.cn/problems/symmetric-tree/solution/dong-hua-yan-shi-101-dui-cheng-er-cha-shu-by-user7/

递归

递归解法主要考虑递归终止条件：

1. 两个结点都为空

2. 两个结点只有一个为空

3. 两个结点的值不相等

对应叫做 “四步法”，先看结点是否为空，再看树的结点的值：

1. 如果两个结点都为空指针，则子树相等或对称

2. 如果两个结点只有一个为空指针，则子树不相等或不对称

3. 左结点和右结点都不为空则观察结点的值。如果两个子树的根结点的值不相等，则它们不相等或不对称

4. 递归比较 left.left 与 right.right、left.right 与 right.left
   

考虑特殊情况：

• 边界——树为空 root == None：对称，返回True

• 树不为空但只有一个根结点 not left and not right：对称，返回True（主函数中没有定义left和right，所以应写为root.left和root.right）

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right
class Solution:
    def isSymmetric(self, root: Optional[TreeNode]) -> bool:
        def helper(left, right):
            # 左右结点都为空指针，则它们对称
            if not left and not right:
                return True
            # 左右结点只有一个为空指针，则它们不对称
            if (not left and right) or (not right and left):
                return False
            # 以下详细实现 return left.val != right.val and helper(left.left, right.right) and helper(left.right, right.left)
            # 左结点和右结点都不为空则观察结点的值：两个子树的根结点的值不相等，则它们不对称
            if left.val != right.val:
                return False
            return helper(left.left, right.right) and helper(left.right, right.left) # 比较 left.left 与 right.right，以及 left.right 与 right.left
        # 用递归函数比较根结点的左右结点
        return True if not root or not (root.left or root.right) else helper(root.left, root.right) # root == None 时树为空，直接判断对称，只有 root 时也直接判断对称，均不需递归比较

时间复杂度：这里遍历了这棵树，渐进时间复杂度为 O(n)，其中 n 为树的结点数量。

空间复杂度：这里的空间复杂度和递归使用的栈空间有关，这里递归层数不超过 n，故渐进空间复杂度为 O(n)。

迭代

引入一个【队列 queue】，这是把递归程序改写成迭代程序的常用方法。

• 初始化时将根结点入队两次，每次提取两个结点 left 和 right 并比较它们的值（队列中每两个连续的结点应该是相等的，而且它们的子树互为镜像）

• 将两个结点的左右子结点按相反的顺序插入队列中

  • 将 left.left 和 right.right 放入队列

  • 将 left.right 和 right.left 放入队列

• 当队列为空时，或者检测到树不对称（即从队列中取出两个不相等的连续结点）时，算法结束
  

class Solution:
    def isSymmetric(self, root: Optional[TreeNode]) -> bool:
        if not root or not (root.left or root.right): # 没有根结点或只有根结点都是对称树时直接判定对称
            return True
        queue = [root.left, root.right] # 队列保存结点
        while queue:
            # 从队列中取出两个结点，再比较这两个结点
            left = queue.pop(0)
            right = queue.pop(0)
            # 若两个结点均为空则继续循环，若仅一个为空或均不为空格但值不相等则返回false
            if not (left or right): # if not left and not right
                continue
            if not (left and right):
                return False
            if left.val != right.val:
                return False
            # left.left 和 right.right 入队列
            queue.append(left.left)
            queue.append(right.right)
            # left.right 和 right.left 入队列
            queue.append(left.right)
            queue.append(right.left)
        return True

时间复杂度：O(n)，其中 n 为树的结点数量。
空间复杂度：这里需要用一个队列来维护节点，每个结点最多进队一次，出队一次，队列中最多不会超过 n 个点，故渐进空间复杂度为 O(n)。