对数公式

对数的定义

如果\(a(a>0,a\neq1)\)的b次幂等于N，就是\(a^b=N\)那么数b叫做以a为底的对数.记作$$log_aN=b \quad(a>0,a\neq1,N>0)$$其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
举例说明
\(1.08^x=2\) 想求x。x可以记作\(x=log_{1.08}2\)
根据对数定义可知
\(log_aa=1\)
\(log_a1=0\)

对数运算性质

如果\(a>0,a\neq1,M>0,N>0\),那么

(1)\(log_aMN=log_aM+log_aN\)

(2)\(log_a\frac{M}{N}=log_aM-log_aN\)

(3)\(log_aM^n=nlog_aM\quad(n \in R)\)

对数运算性质推广

(1)\(log_{a^n}M=\frac{1}{n}log_aM\quad(n \in R)\)

(2)\(log_{a^m}M^n=\frac{n}{m}log_aM\quad(n \in R,m \in R)\)

(3)\(log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}\quad (a>0,a\neq1,b>0,c>0,c\neq1)\)

(4)\(log_ab=\frac{1}{log_ba}\quad(a>0,a\neq1,b>0,b\neq1)\)

列题
1)\(log_ae\)
根据换底公式\(log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}\quad (a>0,a\neq1,b>0,c>0,c\neq1)\)
可得\(log_ae=\frac{log_ee}{log_ea}=\frac{1}{log_ea}=\frac{1}{lna}\)
2)证明\(e^{lna}=a\)
\(令e^{lna}=y,且令x=lna，则e^x=y\)
又由对数定义可知\(a^b=N则 b=log_aN\)
则\(x=log_ey\)
将\(x=lna\)带入得到
即\(lna=lny\)
得到 y=a.即可证得\(e^{lna}=a\)
3)由2）可以推广更通用的公式
\(a^b=e^{lna^b}\)
4)证明：\(a^{lnb}=b^{lna}，(a,b>0)\)