线性DP - 学习笔记

动态规划：用空间代替重复计算。

有些递归在展开计算时，总是重复调用一个子问题的解，这种重复调用的递归变成动态规划很有收益。

如果每次展开都是不同的解，或者重复调用的现象很少，那么没有改动态规划的必要。

任何动态规划问题都一定对应着一个重复调用行为的递归。

所以任何动态规划的题目都一定可以从递归入手，逐渐实现动态规划的方法。

例题一：斐波那契数

题目链接

实际难度：\(\color{F39C11}{{普及-}}\)

考察知识点

• 动态规划 - 线性DP

思路分析（递归）

由斐波那契数列：\(f_i= \begin{cases} 0,&i=0\\ 1,&i=1\\ f_{i-2}+f_{i-1}, &i \ge 2 \end{cases}\) 可得，对于每一个 \(f_i(i \ge 2)\)，只需要求出 \(f_{i-1}\) 和 \(f_{i-2}\) 即可。

如图所示：

即可求出 \(f_3\) 的值。

复杂度分析（递归）

时间复杂度

\[\begin{aligned} T(n)&=\underbrace{T(n-1)+T(n-2)}_{递归}\\ &=O(2^n) \end{aligned} \]

空间复杂度

• 主要存储：\(O(n)\)
• 临时变量：\(O(1)\)
• 总空间：\(O(n)\)

C++代码

// Problem: 509. 斐波那契数
// Contest: LeetCode
// URL: https://leetcode.cn/problems/fibonacci-number/
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// 定义一个名为Solution的类，用于封装斐波那契数的求解方法
class Solution {
// 公有成员区域，表明以下函数可以被类外部调用
public:
    // 定义一个递归辅助函数f，参数i为需要计算的斐波那契数的索引，返回值为对应的斐波那契数
    int f(int i){
        // 递归终止条件1：当索引i为0时，根据斐波那契数定义，返回0
        if(i==0) return 0;
        // 递归终止条件2：当索引i为1时，根据斐波那契数定义，返回1
        if(i==1) return 1;
        // 递归计算：第i个斐波那契数等于第i-1个与第i-2个斐波那契数之和，返回计算结果
        return f(i-1)+f(i-2);
    }
    // 定义LeetCode要求的接口函数fib，参数n为目标斐波那契数的索引，返回对应的斐波那契数
    int fib(int n) {
        // 调用辅助函数f计算第n个斐波那契数，并返回结果
        return f(n);
    }
};