洛谷 - P1363 幻象迷宫

洛谷 - P1363 幻象迷宫

题目链接

实际难度：\(\color{7FF000}{{提高-}}\)

考察知识点

• 搜索 - Flood Fill

思路分析

本题就是在普通的Flood Fill上加了一些特殊性质。

拿到这个题，可能会有的想法：将图中边缘上的点与其对应的点相连（例如：\((1,5)和(n,5)\)，\((5,1)和(5,m)\)（当且仅当图中边缘上的点与其对应的点均可到达）。（这也是本人最先想到的思路）

但是这样对吗？显然不对。

对于以下的样例：

5 6
######
##S..#
##.#.#
##...#
######

以上面的方式抽象成图就会得到：

显然应当输出No，但是依据上面的方法会误判成Yes。

这是因为：我们只考虑到了环，而没考虑到环的类型（环可以是不跨边界形成的环，也可以是跨边界形成的环）。

所以我们只需维护是否存在一个点，跨过边界能重复到达。

复杂度分析

时间复杂度

\[\begin{aligned} T(n)&=\underbrace{O(n \times m)}_{寻找起点}+\underbrace{O(n \times m)}_{DFS}\\ &=O(n \times m) \end{aligned} \]

空间复杂度

• 主要存储：\(O(n \times m)\)
• 临时变量：\(O(n \times m)\)
• 总空间：\(O(n \times m)\)

C++代码

// Problem: P1363 幻象迷宫
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P1363
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <cstdio>   // 用于输入输出操作（如scanf、printf）
#include <cstring>  // 用于内存操作（如memset）
using namespace std;

// 方向数组：表示上下左右四个移动方向（左、上、右、下）
// dx[i]和dy[i]分别对应第i个方向的x和y坐标偏移量
const int dx[] = {0, -1, 0, 1};  // x方向偏移（0:左移不影响x，-1:上移x-1，0:右移不影响x，1:下移x+1）
const int dy[] = {-1, 0, 1, 0};  // y方向偏移（-1:左移y-1，0:上移不影响y，1:右移y+1，0:下移不影响y）

const int N = 1510;  // 迷宫最大尺寸（题目中迷宫大小不超过1500x1500）

// 全局变量定义
int n, m;               // n：迷宫行数，m：迷宫列数
char g[N][N];           // 存储迷宫地图：'.'表示可走，'#'表示障碍物，'S'表示起点
bool flag;              // 标记是否找到符合条件的路径（存在幻象环则为true）
int s[N][N][2];         // 记录到达坐标(x,y)时的"循环次数"：
                        // s[x][y][0]为x方向循环次数，s[x][y][1]为y方向循环次数
bool vis[N][N];         // 标记坐标(x,y)是否已被访问过（用于DFS剪枝和环检测）
int sx, sy;             // 起点坐标(sx, sy)


/*
 * DFS搜索函数：从当前坐标(x,y)出发，探索所有可能路径，检测是否存在幻象环
 * x：当前位置的x坐标（迷宫范围内的实际坐标）
 * y：当前位置的y坐标（迷宫范围内的实际坐标）
 * stepx：x方向的循环次数（每从顶部出界一次+1，从底部出界一次-1）
 * stepy：y方向的循环次数（每从右侧出界一次+1，从左侧出界一次-1）
 */
void dfs(int x, int y, int stepx, int stepy) {
    // 处理x方向的循环边界：走出迷宫上边界（x<0），从下边界进入
    if (x < 0) {
        x = n - 1;    // 从底部进入（x坐标变为最后一行）
        stepx--;      // 上移出界，x方向循环次数减1
    }
    // 处理x方向的循环边界：走出迷宫下边界（x>=n），从上边界进入
    if (x >= n) {
        x = 0;        // 从顶部进入（x坐标变为第一行）
        stepx++;      // 下移出界，x方向循环次数加1
    }
    // 处理y方向的循环边界：走出迷宫左边界（y<0），从右边界进入
    if (y < 0) {
        y = m - 1;    // 从右侧进入（y坐标变为最后一列）
        stepy--;      // 左移出界，y方向循环次数减1
    }
    // 处理y方向的循环边界：走出迷宫右边界（y>=m），从左边界进入
    if (y >= m) {
        y = 0;        // 从左侧进入（y坐标变为第一列）
        stepy++;      // 右移出界，y方向循环次数加1
    }

    // 若当前位置是障碍物（'#'），无法继续探索，直接返回
    if (g[x][y] == '#') return;

    // 若已找到符合条件的路径（flag为true），提前终止搜索
    if (flag) return;

    // 若当前位置已被访问过（说明形成回路）
    if (vis[x][y]) {
        // 检查：之前到达该位置时的循环次数（stepx, stepy）与本次是否不同
        // 若不同，说明存在"同一位置但循环次数不同"的路径，即存在幻象环
        if (s[x][y][0] != stepx || s[x][y][1] != stepy) {
            flag = true;  // 标记找到有效路径
        }
        return;  // 无论是否符合条件，该路径已探索完毕，返回
    }

    // 标记当前位置为已访问，并记录到达时的循环次数
    vis[x][y] = true;
    s[x][y][0] = stepx;  // 记录x方向循环次数
    s[x][y][1] = stepy;  // 记录y方向循环次数

    // 向四个方向（左、上、右、下）递归探索
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        int nx = x + dx[i];  // 新x坐标（未处理边界前）
        int ny = y + dy[i];  // 新y坐标（未处理边界前）
        // 递归探索下一个位置，循环次数暂不改变（边界处理在递归中完成）
        dfs(nx, ny, stepx, stepy);
    }
}

int main() {
    // 多组测试数据处理（当输入n和m成功时继续循环）
    while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {
        // 初始化访问标记数组（所有位置均未访问）
        memset(vis, false, sizeof(vis));
        // 初始化循环次数记录数组（默认值为0）
        memset(s, 0, sizeof(s));
        // 初始化标记：尚未找到符合条件的路径
        flag = false;

        // 读取迷宫地图（n行，每行m个字符）
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%s", g[i]);
        }

        // 寻找起点'S'的位置，并将其改为'.'（起点视为可走路径的一部分）
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                if (g[i][j] == 'S') {
                    sx = i;    // 记录起点x坐标
                    sy = j;    // 记录起点y坐标
                    g[i][j] = '.';  // 起点改为可走路径，避免后续判断干扰
                }
            }
        }

        // 从起点开始DFS，初始循环次数设为(1,1)（避免0值干扰，实际只要统一即可）
        dfs(sx, sy, 1, 1);

        // 根据flag判断是否存在幻象环，输出结果
        if (flag) puts("Yes");
        else puts("No");
    }
    
    return 0;
}