洛谷 - P2005 A/B Problem II

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考察知识点

• 算法 - 二分
• 数学 - 高精度

思路分析

古话说得好：遇事不决，小学数学。

小学数学课本上对于乘法与除法之间的关系有着这样的定理：

除法是乘法的逆运算

本题即求ans最大值，使得 $ ans \times N<=M $。

显然可以用二分去做。

注意到\(1 \le ans \le 13!\)，因此要开long long。

时间复杂度

\(O(\log_{2}13! \times log_{10}N)\)

C++代码

#include <iostream>		// 用于输入输出操作
#include <vector>		// 用于存储大整数
using namespace std;

// 定义长整型别名，避免重复书写long long
typedef long long LL;

// 存储输入的两个大整数（字符串形式）
string a, b;
// 用vector存储大整数的每一位，逆序存放（低位在前，高位在后），方便处理进位和位运算
vector<int> A, B;

/*
比较两个大整数的大小（逆序存储）
若A >= B则返回true，否则返回false
*/
bool compare(vector<int> A, vector<int> B) {
    // 若长度不同，长度更长的数更大
    if (A.size() != B.size()) return A.size() > B.size();
    // 长度相同则从最高位（vector的末尾）开始比较
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--) {
        if (A[i] != B[i]) {
            return A[i] > B[i]; // 高位更大的数整体更大
        }
    }
    // 所有位都相同，两数相等
    return true;
}

/*
大整数乘法：大整数A（逆序）乘以一个小整数b（LL类型）
return 乘积结果（逆序存储的大整数）
*/
vector<int> mul(vector<int> &A, LL b) {
    vector<int> C; // 存储乘积结果
    LL t = 0; // 用于存储进位
    // 遍历大整数A的每一位，或进位不为0时继续计算
    for (int i = 0; i < A.size() || t; i++) {
        // 累加当前位与b的乘积和进位
        if (i < A.size()) t += A[i] * b;
        // 当前位结果为t模10，存入C
        C.push_back(t % 10);
        // 更新进位（t除以10）
        t /= 10;
    }
    // 去除结果中高位的0（因逆序存储，高位在末尾），保留至少一位
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) {
        C.pop_back();
    }
    return C;
}

int main() {
    // 读取输入的两个大整数（字符串形式，避免“整型溢出”）
    cin >> a >> b;

    // 将字符串a转换为逆序的数字数组A（低位在前）
    // 例如："1000" 转换为 [0,0,0,1]（个位0，十位0，百位0，千位1）
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) {
        A.push_back(a[i] - '0'); // 字符转数字
    }
    // 同理，将字符串b转换为逆序的数字数组B
    for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) {
        B.push_back(b[i] - '0');
    }

    // 二分查找的左右边界，寻找最大的mid使得 B * mid <= A（即mid = floor(A/B)）
    // 左边界初始为0，右边界6227020800是13的阶乘
    LL l = 0, r = 6227020800;
    // 二分查找循环，当l < r时继续
    while (l < r) {
        // 计算中间值mid，使用(l + r + 1)避免死循环（向上取整）
        LL mid = (l + r + 1) / 2;
        // 判断B * mid是否小于等于A：若A >= B*mid，则mid可以更大，移动左边界
        if (compare(A, mul(B, mid))) {
            l = mid;
        } else {
            // 否则mid太大，移动右边界
            r = mid - 1;
        }
    }
    // 输出找到的最大mid，即A/B的下取整结果
    printf("%lld\n", l);
	
    return 0;
}