[ARC150D] Removing Gacha 题解

技巧题，如果不会一些技巧确实可能做不出来。

思路

由于每一次待选的点的条件非常苛刻。

所以我们不妨把待选的点看作所有的点，但是只有在选到真正可能被选的点的时候才计算贡献。

我们可以考虑每一个点的期望被选择次数。

答案为所有点的期望被选择次数之和。

对于一个点 \(i\)，它的深度为 \(d_i\)。

那么我们只需考虑它和它的所有祖先的选择情况，因为选择到其它点的时候对它没有影响。

在它还有 \(k\) 个祖先的时候，我们期望 \(\frac{d_i}{k}\) 次会再次选择到一个没有被选择过的祖先。

而每一次都有 \(\frac{1}{d_i}\) 的概率选择到点 \(i\)。

所以总的期望次数为：

\[\sum_{k=1}^{d_i} \frac{1}{d_i}\frac{d_i}{k}=\sum_{k=1}^{d_i}\frac{1}{k} \]

时间复杂度：\(O(n)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int mod = 998244353;

int n;
int a[200010];
int d[200010];
int v[200010];

inline int power(int x, int y) {
  int res = 1;
  while (y) {
    if (y & 1) res = res * x % mod;
    x = x * x % mod, y >>= 1;
  }
  return res;
}

signed main() {
  cin >> n, d[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; i++) cin >> a[i];
  for (int i = 2; i <= n; i++) d[i] = d[a[i]] + 1;
  for (int i = 1; i <= n; i++) v[i] = power(i, mod - 2);
  for (int i = 1; i <= n; i++) if ((v[i] += v[i - 1]) >= mod) v[i] -= mod;
  int ans = 0;
  for (int i = 1; i <= n; i++) if ((ans += v[d[i]]) >= mod) ans -= mod;
  cout << ans << "\n";
  return 0;
}