P5398 [Ynoi2018] GOSICK 题解

第十四分块。

卡常卡到心机梗塞的一道题目。

思路

思路就是普通二次离线莫队的思路。

我们发现，题目要求的东西的贡献如果用普通莫队求解
无法做到 \(O(1)\) 的复杂度，我们可以考虑使用二次离线。

这个玩意的贡献设为 \(f(l,r)\) 。

则端点右移的贡献则为 \(f(l,r+x)\)。

差分一下：

\[f(l,r+x)-f(l,r)=\sum_i^{i \le x} g(r+i,r+i-1)-g(r+i,l-1) \]

其中 \(g(x,y)\) 表示的是第 \(x\) 位对前 \(y\) 个数的贡献。

前面那个东西可以用前缀和预处理出来，后面则可以再次离线求解。

考虑如何求解。

我们发现，题目中要求的二元组并没有 \(i \le j\) 的限制，这对于莫队来说就变得不好处理，我们可以让每个数的因数和倍数都加入贡献，这样，就有了 \(i \le j\) 的限制。

前缀和的预处理很好解决，可以直接对于每个数枚举因数，时间复杂度 \(O(n \sqrt n)\)。

对于后面的某个数对于序列的一个前缀的贡献，同样用扫描线解决。

1. 求解某个数在一个前缀内的倍数个数。

这个处理比较简单，开一个桶，只要扫到一个数时，加入它的因数，询问的时候直接询问就可以了，时间复杂度 \(O(n \sqrt n)\)。

2. 求解某一个数在前缀内的因数个数。

我们发现，当此时扫到的一个数比较大时，我们可以暴力跳倍数。

但是当此时扫到的一个数比较小时，暴力跳的时间复杂度就极为不优秀。

可以考虑根号分治。

当此时的数较小时，我们可以预处理出一个数组 \(pre_{x,y}\) 表示第 \(y\) 位在前 \(x\) 个数中的倍数个数。

这个的处理方法可以与1相同。

这样就得到了一个时空复杂度均为 \(O(n\sqrt n)\) 的极大常数的算法。

卡常

现在讲一下如何让大常数选手卡过这道题。

首先，空间上，\(n\sqrt n\) 的空间复杂度显然会被卡掉。

我们则可以一边处理询问，一边处理 \(pre\) 数组。

空间则变为线性。

时间上：

• IO优化。

• 合理的开 \(long~long\)。

• 循环展开。

• 我们发现，这份代码上有很多枚举因数的 \(n\sqrt n\) 的复杂度的地方，可以把他们放在一起写。

• 二次离线的储存询问不要使用桶，使用一个数组来存，排一下序就可以了。

• 至于阀值，莫队分块可以开 \(1000\),根号分治则可以往小了开，可以在 \(30-50\) 之间是比较优秀的。

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