动态规划：最大连续子段和

问题描述：

输入为两行。第一行一个整数n (1 <= n <= 100000), 表示一共有n个元素，第二行为n个数，每个元素每个整数都在32位int范围内。以空格分隔。输出所有连续子数组中和最大的值。

 

测试样例：

输入 3   -1 2 1   输出 3
输入 6   -2 11 -4 13 -5 -2  输出 20

算法思路：

方法1：动态规划。以 j 为下标终点，sum_max ( j ) 表示包括 x[ j ]这个数本身在内的，最大连续子段和。那么 

sum_max ( j ) = max { x[ j ], x[ j ] + sum_max( j-1 ) }.  这样动态规划的递推公式就得到了。这道题的DP矩阵是一个数组，不是一个矩阵咯，哈哈。

方法2：分治法。最大子段和有三种情况，1）在 x[1 ~ n/2 ] 中； 2）在 x[n/2+1 ~ n] 中； 3）在前2段中间。前2种情况递归即可，第3种情况，就表示 x[n/2] 和 x[n/2+1] 肯定在最大子段中，那么从这两个点出发分布向左右顺次扫描即可找出包含这2个的最大子段和。

 

方法1 C++程序：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;


int main()
{
    int n, tmp, max_sum, sum_before=0, sum_now=0;
    vector<int> vec;
    cin>>n>>max_sum;
    sum_before = max_sum; // first element
    for(int i=1; i<n; i++){
        cin>>tmp;
        if(tmp + sum_before > tmp){
            sum_now = tmp + sum_before;
        }else{
            sum_now = tmp;
        }

        if(sum_now > max_sum){
            max_sum = sum_now;
        }
        sum_before = sum_now;
    }
    cout<<max_sum<<endl;

    return 0;
}

 函数形式：

//动态规划：以终点为变量
int MIS_Dynamic(int *seq, int n)
{
    int now_sum = seq[0];
    int max_sum = now_sum;
    for(int i=1;i<n; i++){
        now_sum > 0 ? now_sum += seq[i] : now_sum = seq[i];
        if( max_sum < now_sum )
            max_sum = now_sum;
    }
    return max_sum;
}

 

方法2 C++程序：

//分治法
int MIS_Divide(int *seq, int l, int r)  
{
    if( l == r )
        return seq[l]>0 ? seq[l] : 0;
    else{
        int center = ( l + r ) / 2;

        int left_sum = MIS _Divide(seq, l, center);  //最大子段和在左边序列
        int right_sum = MIS _Divide(seq, center+1, r);  //最大子段和在右边序列

        //最大子段和中间部分，第三种情况
        int s1 = 0;
        int temp1 = 0;
        for(int i=center; i>=l; i--){  //center--->左
            temp1 += seq[i];
            if( temp1 > s1 ) s1 = temp1;
        }
        int s2 = 0;
        int temp2 = 0;
        for(int i=center+1; i<=r; i++){  //center--->右
            temp2 += seq[i];
            if( temp2 > s2 ) s2 = temp2;
        }
        int sum = s1 + s2;

        if( sum < left_sum ) sum = left_sum;
        if( sum < right_sum ) sum = right_sum;
        return sum;
    }
}