快速幂

快速幂

递归快速幂

递归

无非是一个二分的思路。我们很自然地可以得到一个递归方程：

\[a^{n}=\begin{cases} a^{n-1} \cdot a \quad if \ n \ is \ odd\\ a^{ \frac{n}{2}}\cdot a^{ \frac{n}{2}} \quad if \ n \ is \ even\ but\ not\ 0\\ 1 \quad if \ n \ = \ 0\end{cases} \]

计算a的n次方，如果n是偶数（不为0），那么就先计算a的n/2次方，然后平方；如果n是奇数，那么就先计算a的n-1次方，再乘上a；递归出口是a的0次方为1。

int qpow(int a, int n)
{
    if (n == 0)
        return 1;
    else if (n & 2 == 1)
        return qpow(a, n - 1) * a;
    else
    {
        int temp = qpow(a, n / 2);
        return temp * temp;
    }
}

在实际问题中，题目常常会要求对一个大数取模，这是因为计算结果可能会非常巨大，但是在这里考察高精度又没有必要。这时我们的快速幂也应当进行取模，此时应当注意，原则是步步取模，如果MOD较大，还应当开long long。

static int num;
int qpow(int a, int n)
{
    if (n == 0)
        return 1;
    else if (n & 2 == 1)
        return qpow(a, n - 1) * a%num;
    else
    {
        int temp = qpow(a, n / 2)%num;
        return temp * temp%num;
    }
}

大家知道，递归虽然简洁，但会产生额外的空间开销。我们可以把递归改写为循环，来避免对栈空间的大量占用，也就是非递归快速幂。

非递归

我们换一个角度来引入非递归的快速幂。还是7的10次方，但这次，我们把10写成二进制的形式，也就是 \((1010)_{2}\) 。

现在我们要计算 \(7^{(1010)_{2}}\)，可以怎么做？我们很自然地想到可以把它拆分为 \(7^{(1000)_{2}}⋅7^{(10)_{2}}\) 。实际上，对于任意的整数，我们都可以把它拆成若干个 \(7^{(100...)_{2}}\) 的形式相乘。而这些 \(7^{(100...)_{2}}\)，恰好就是 \(7^{1}\) 、\(7^{2}\)、\(7^{4}\)……我们只需不断把底数平方就可以算出它们。

//非递归快速幂
static long powMod(long a, int b) {
		long ret = 1;
		while (b != 0) {
			if ((b & 1) == 1)
				ret *= a;
			b >>= 1;
			a = a * a;
		}
		return ret;
	}

这里的位运算符，>>是右移，表示把二进制数往右移一位，相当于/2；

取模版本的

static long powMod(long a, int b, final long mod) {
		long ret = 1;
		while (b != 0) {
			if ((b & 1) == 1)
				ret = ret * a % mod;
			b >>= 1;
			a = a * a % mod;
		}
		return ret % mod;
	}