喜闻乐见的颓柿子

既然一开始的时候把 dp 方程写了，第三问不如就尝试一下。

接下来我们考虑一下对 $ a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2} $ 找出通项。

首先有 $ a_1=1,,a_2=2, $

化一下式子：

\[a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2} \]

即

\[\frac{a_n}{(n-1)!}=\frac{a_{n-1}}{(n-1)!}+\frac{a_{n-2}}{(n-2)!} \;\;\; ......(*) \]

这就是我们之后将要使用的式子。

其实一开始我还尝试了化成

\[n \times \frac{a_n}{n!} =\frac{a_{n-1}}{(n-1)!}+\frac{a_{n-2}}{(n-2)!} \]

即

\[nb_n=b_{n-1}+b_{n-2} \]

结果即为 $ n! \times b_n $

发现既然还是要 egf, 那也就没必要了~

写几个形式幂级数对齐看看(其实我很怀疑这玩意儿到底是不是指数生成函数，自己编出来的)：

\[\operatorname F(x)=a_1 \frac{x}{1}+a_2 \frac{x^2}{2} + a_3 \frac{x^3}{6}+... \]

\[x \operatorname F(x) = a_1 x^2 + \frac{a_2}{2} x^3 +\frac{a_3}{6}x^4 + ... \]

（不知道怎么对齐，就这样吧，其实就是把对应项的系数对齐

\[\operatorname F'(x)= 1 + 2x+\frac{a_3}{2}x^2+\frac{a_4}{6}x^3 +... \]

这里把 \(a_1=1, a_2=2\) 代入了。

对比一下，结合递推式容易找到

\[(x+1)(\operatorname F(x)+1) = \operatorname F'(x) \]

这时候就变成 whk 经典题了，其实第一次见这种题时很疑惑怎么会有导数和原函数在同一个方程里的情境。。

解得

\[\operatorname F(x)=\exp(x+\frac{x^2}{2}) -1 \]

展开并二项式定理得到

\[a_n=n!\times [x^n]\operatorname F(x)=\sum_{k=\lceil\frac{n}{2}\rceil}^n \frac{n!}{(2k-n)!(n-k)! \times 2^{n-k}} \]

将 $ k $ 用 $ n-k $ 替换后得到

\[a_n=1+\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor} \frac{n!}{k!(n-2k)!\times 2^k}=1+\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor} \frac{ A_{n}^{2k} } { k!\times 2^k } \]

撒花！