矩阵乘法

别人的博客

1.矩阵

A. 基本概念

一个 $n\times m$ 的矩阵表示 $n$ 行 $m$ 列的一个矩阵。

如果两个矩阵相乘，那么 第一个矩阵的列数 应该与 第二个矩阵的行数 相同。

如果一个 $2\times 3$ 的矩阵乘上一个 $3\times 4$ 的矩阵，那么就长成这个样子：

\[\begin{bmatrix} - & - & -\\ - & - & - \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} - & - & - & - \\ - & - & - & - \\ - & - & - & -\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - & - & - & - \\ - & - & - & - \end{bmatrix} \]

也就是变成了一个 $2 \times 4$ 的矩阵。

但是数值是如何变化的呢？

现在给一个 $a\times n$ 的矩阵 $A$ 和 $n\times m$ 的矩阵 $B$。

我们可以称矩阵 $A$ $\times$ 矩阵 $B$ $=$ 矩阵 $C$（$a\times m$）。

那么 $C_{i, j} = \sum_{k = 1} ^ n A_{i, k} \times B_{k, j}$

因为矩阵 $A$ 的列数与矩阵 $B$ 的行数相同，那么即 $C_{i, j}$ 是矩阵 $A$ 中第 $i$ 行的第 $k$ 列与矩阵 $B$ 中第 $k$ 行的第 $j$ 列的乘积的和（$k\in \begin{bmatrix} 1, n \end{bmatrix}$）
$\,$

B.单位矩阵

就是一个矩阵 $A$，让它乘上一个矩阵，结果仍为矩阵 $A$。

假如有一个 $n\times m$ 的矩阵 $A$，那么它的单位矩阵是一个 $m\times m$ 的，对角线上为 $1$，其他位上为 $0$ 的。
$\,$

C.性质

有结合律，如 $A\times B\times C = A\times (B\times C)$，依靠这个，我们也可以用快速幂的样子优化了。

没有交换律，不然对不上了。所以写代码时顺序一定不能错了！

2.例题

Luogu - P3390 【模板】矩阵快速幂

$\color{Green}{点击查看代码}$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define debug(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl;
const int N = 105, M = 1e9 + 7;
int n;
ll k;
inline ll read() {
	ll s = 0, f = 1; char c = getchar();
	while (c < '0' || c>'9') { if (c == '-')f = -1; c = getchar(); }
	while (c >= '0' && c <= '9') { s = (s << 1) + (s << 3) + (c ^ 48); c = getchar(); }
	return s * f;
}
struct Matrix {
	ll val[N][N];

	void init() { memset(val, 0, sizeof val); }
	void build() { for (int i = 1; i <= n; i++)val[i][i] = 1; }  //构造单位矩阵

	Matrix operator *(Matrix tmp) {  //重载运算符，当看到 Matrix 类型的 * 号时，会自动识别并运算
		Matrix ans;
		ans.init();  //一定要清空
		for (int k = 1; k <= n; k++)
			for (int i = 1; i <= n; i++)
				for (int j = 1; j <= n; j++)
					ans.val[i][j] = (ans.val[i][j] + val[i][k] * tmp.val[k][j] % M) % M;
		return ans;
	}
}A, Ans;
int main() {
	n = read(), k = read();
	Ans.build();
	for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++)A.val[i][j] = read();
	while (k) {	 //矩阵快速幂
		if (k & 1)Ans = Ans * A;
		A = A * A;
		k >>= 1;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++)cout << Ans.val[i][j] << ' ';
		cout << endl;
	}
	return 0;
}

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再来看一看运用，Luogu - P1939 【模板】矩阵加速（数列）

别人的题解（为什么这样递推讲得挺清楚了）

我们可以认为这题的矩阵是长这个样子滴~ 也就是基本形式：

\[\begin{bmatrix} F_n & F_{n-1} & F_{n-2} \end{bmatrix} \]

那么变化是这样子乘的：

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \]

那我们到时候重载一下运算符，直接写：

矩阵Ans = 矩阵Ans * 变化形式

这个东西乘一次变化矩阵下标是右移 $1$ 的，那么乘 $n-3$ 次，然后输出第一个元素就 OK 了。