单变量微积分学习笔记：函数的连续性及4种间断点（4）【1】

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \]

左连续和右连续

\(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)\)

注意：讨论是否连续的前提是函数在该点 \(x_0\) 左右邻域均有定义（不需要在 \(x_0\) 处有定义）

如我们不讨论 \(\sqrt{x}\) 在 \(0\) 处的连续性，因为 \(\sqrt{x}\) 在 \(0^-\) 没有定义

可以讨论 \(\frac{1}{x}\) 在 \(0\) 处的连续性，因为 \(\frac{1}{x}\) 在 \(0^-\) 和 \(0^+\) 均有定义，尽管在 \(0\) 处没有定义

不连续的情况

1. 跳跃间断点（Jump Discontinuities）

   \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim_{x \to x_0^+} f(x)\)

2. 可去间断点（Removable Discontinuities）

   \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x),f(x_0)\)不存在

3. 无穷间断点（Infinite Discontinuities）

   \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm \infty \lor \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm \infty\)

4. 震荡间断点（Other Discontinuities）

   \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = ? \lor \lim_{x \to x_0^+} f(x) = ?\)