代码改变世界

利用异或的特性解决,找出重复数的问题,应该是目前最优算法。

2009-07-23 11:30  Ivony...  阅读(12370)  评论(38编辑  收藏  举报
还是这个题目:
http://www.cnblogs.com/mqsuper/archive/2009/07/21/1527915.html

显然已经有人提出了一个比较精彩的解法,将所有数加起来,减去1+2+...+1000的和。
这个算法已经足够完美了,相信出题者的标准答案也就是这个算法,唯一的问题是,如果数列过大,则可能会导致溢出。
而异或就没有这个问题,并且性能更好。
将所有的数全部异或,得到的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或,得到的结果就是重复数。

但是这个算法虽然很简单,但证明起来并不是一件容易的事情。这与异或运算的几个特性有关系。
首先是异或运算满足交换律、结合律。
所以,1^2^...^n^...^n^...^1000,无论这两个n出现在什么位置,都可以转换成为1^2^...^1000^(n^n)的形式。

其次,对于任何数x,都有x^x=0,x^0=x。
所以1^2^...^n^...^n^...^1000 = 1^2^...^1000^(n^n)= 1^2^...^1000^0 = 1^2^...^1000(即序列中除了n的所有数的异或)。

令,1^2^...^1000(序列中不包含n)的结果为T
则1^2^...^1000(序列中包含n)的结果就是T^n。
T^(T^n)=n。
所以,将所有的数全部异或,得到的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或,得到的结果就是重复数。

当然有人会说,1+2+...+1000的结果有高斯定律可以快速计算,但实际上1^2^...^1000的结果也是有规律的,算法比高斯定律还该简单的多。