LOJ3119 CTS2019 随机立方体 概率、容斥、二项式反演
为了方便我们设\(N\)是\(N,M,L\)中的最小值，某一个位置\((x,y,z)\)所控制的位置为集合\(\{(a,b,c) \mid a = x \text{或} b = y \text{或} c = z\}\)
发现恰好\(k\)个位置不大好算，考虑容斥计算强制\(k\)个位置是极大值的概率
对于极大值所在位置的数\(a_1,a_2,...,a_k\)，假设\(a_1 > a_2 > ... > a_k\)，那么我们还需要满足\(a_1 \geq a_1\)所在位置控制的所有数，\(a_2,...,a_k\)同理，但是\(a_1,a_2,...,a_k\)所在位置所控制的位置有交，这会导致概率不独立，所以不能直接将概率相乘。
将上面的条件改一下，可以变成：\(a_1 \geq a_1,a_2,...,a_k\)所在位置的控制范围的并，\(a_2,...,a_k\)同理。注意到\(a_2,...,a_k\)所在位置的控制范围的并是\(a_1,a_2,...,a_k\)所在位置的控制范围的并的子集，而需要一个集合中某一个位置是最大值和需要这个集合中不包含该集合最大值位置的子集中某一个位置是这个子集中的最大值两者的概率显然是独立的，因为当前集合中最大值如何并不会影响到子集中最大值。
控制范围的并的大小可以直接容斥算。
设\(f_i\)表示强制\(i\)个位置是极大值的概率，\(g_i\)表示恰好\(i\)个位置是极大值的概率，那么\(f_i = \sum\limits_{k \geq i}^n \binom{k}{i} g_i\)，我们能求\(f\)，要求\(g\)。不难发现这是一个二项式反演，可以得到\(g_i = \sum\limits_{j=i}^n (-1)^{j-i} \binom{j}{i} f_i\)。
