P2082 区间覆盖（加强版）

P2082 区间覆盖（加强版）

题目

已知有 \(N\) 个区间，每个区间的范围是 \([s_i,t_i]\)，请求出区间覆盖后的总长。

输入

第一行一个正整数 \(N\)，表示区间个数。

接下来 \(N\) 行，每行两个正整数，表示 \(s_i\) 和 \(t_i\)。

输出

共一行，一个正整数，为覆盖后的区间总长。

样例

输入

3
1 100000
200001 1000000
100000000 100000001

输出

900002

提示

对于 \(40 \%\) 的数据，\(N \le 1000\)，\(1 \le s_i < t_i \le 10000\)。

对于 \(100 \%\) 的数据 ，\(N \le 10^5\)，\(1 \le s_i < t_i \le 10^{17}\)。

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思路

在分析这道题之前先学习一下“区间合并”的问题：数轴上有 \(n\) 个闭区间 \(\lbrack a_i,b_i \rbrack\)，尽量选择少的区间覆盖一个指定的区间 \(\lbrack s,t \rbrack\)。

这是“区间覆盖问题”，分析：将区间左端点从小到大排序，如果第一个区间的左端点 \(a_1\) 大于 \(s\)，无解。否则依次枚举起点 \(a_i\) 小于 \(s\) 的区间，记录 \(b_i\) 的最大值。如上图，区间 \(1\)、区间 \(2\)、区间 \(3\) 的左端点均小于 \(s\)，其中右端点 \(b_2\) 为最大值，记录下来。如果 \(b_2\) 依然小于 \(s\) 则无解，否则 \(s\) 被更新成 \(b_2\)，答案累加 \(1\)。按照类似的方式继续判断区间 \(4\)、区间 \(5\)。

按照上述方法，排序后从左到右依次枚举区间，复杂度为 \(O(n)\)。

回归本题，同样是一道“区间合并”的问题，看到区间问题容易想到贪心的方法，将区间左端点 \(L\) 排序，然后从左到右维护，\(R\) 表示已经贪心到的最右端的边界，如果当前的右边界大于等于 \(R\) 就加上不重复覆盖的区间长度，同时更新 \(R\)。

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代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 1e5 + 5;
long long n, R, ans;

struct Range
{
	long long l, r;
	bool operator < (const Range v) const
	{
		return l < v.l;
	}
} a[MAXN];

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (long long i = 1; i <= n; i ++ )
		scanf("%ld %ld", &a[i].l, &a[i].r);
	sort(a + 1, a + n + 1);
	for (long long i = 1; i <= n; i ++ )
	{
		if (R <= a[i].r)
		{
			ans += a[i].r - max(R, a[i].l) + 1;
			R = a[i].r + 1;
		}
	}
	printf("%ld", ans);
	return 0;
}