95. 费解的开关

95. 费解的开关

题目描述

在一个 \(5 \times 5\) 的 \(01\) 矩阵中，点击任意有、一个位置，该位置以及它上、下、左、右四个相邻的位置中的在、数字都会变化（\(0\) 变成 \(1\)，\(1\) 变成 \(0\)），问：做少需要多少次点击可以把一个给定的 \(01\) 矩阵变成全 \(0\) 矩阵？（如果超过 \(6\) 次输出 -1）。

样例

输入：

3
00111
01011
10001
11010
11100

11101
11101
11110
11111
11111

01111
11111
11111
11111
11111

输出：

3
2
-1

---

算法

(递推)

在上述规则的 \(01\) 矩阵的点击游戏中，很容易发现三个性质。

1. 每个位置至多只会被点击一次。
2. 若固定第一行（不能再改变第一行），则满足题意的点击方案至多只有 \(1\) 种。其原因是：当第 \(i\) 行某一位为 \(1\) 时，若前 \(i\) 行已被固定，只能点击第 \(i + 1\) 行该位置上的数字才能使第 \(i\) 的这一位变成 \(0\)。从上到下按行使用归纳法可得上述结论。
3. 点击的先后顺序不影响最终结果。

于是，我们不妨先考虑第一行如何点击。在枚举第一行的点击方法（\(2^5 = 32\) 种）后，就可以认为第一行“固定不动”，再考虑第 \(2 - 5\) 如何点击。而按照上述性质 \(2\)，此时第 \(2 - 5\) 行的点击方案是确定的——从第一行开始递推，当第 \(i\) 某一位为 \(1\) 时，点击第 \(i + 1\) 行该位置上的数字。若到达第 \(n\) 行时不全为 \(0\)，说明这种点击方式不合法。在所有合法的点击方式中取点击次数最少的就是答案。对第一行的 \(32\) 次枚举涵盖了该问题的整个状态空间，因此该做法是正确的。

对于第一行点击方法的枚举，可以采用位运算的方式，枚举 \(0 - 31\) 这 \(32\) 个 \(5\) 位二进制数，若二进制数的第 \(k(0 \le k < 5)\) 位为 \(1\)，就点击 \(01\) 矩阵第 \(1\) 行第 \(k + 1\) 列的数字。