二进制状态压缩对应 bool 数组中的常用操作

前置知识

位运算,状态压缩基本原理。

二进制操作 符号 运算规则
按位与 & 对于每一位二进制数比较,如果都为 1 取 1,否则取 0
按位或 | 对于每一位二进制数比较,如果都为 0 取 0,否则取 1
按位非 ~ 对于每一位二进制,0 变成 1,1 变成 0
按位左移 << 将这个数的二进制表示向左移动一位,越界丢弃,低位补 0
按位右移 >> 将这个数的二进制表示向右移动一位,越界丢弃,高位补 0
按位异或 ^ 对于每一位二进制数比较,如果两个不同取 1,否则取 0

这种运算较为简便,而且常数非常小,在非状态压缩的情况下也经常使用。

二进制数压缩 bool 数组操作

操作 运算
取出整数 \(n\) 在二进制表示下的第 \(k\) (n >> k) & 1
取出整数 \(n\) 在二进制表示下的后 \(k\) n & ((1 << k) - 1)
将整数 \(n\) 在二进制表示下的第 \(k\) 位取反 n ^ (1 << k)
将整数 \(n\) 在二进制表示下的第 \(k\) 位赋 \(1\) n | (1 << k)
将整数 \(n\) 在二进制表示下的第 \(k\) 位赋 \(0\) n & (~(1 << k))

正确性证明

操作 1

\(n\) 右移 \(k\) 位后,其末即为第 \(k\) 位。此时将其和 \(1\) 按位与即可舍弃前面所有的位上的数据(原因是 \(1\) 的二进制表示中其他位全部为 \(0\),按位与后的结果也是 \(0\) ),比较最后一位是 \(0\) 还是 \(1\)。若为 \(0\) 则返回 \(0\),反之亦然。

操作 2

\(1\) 向左移 \(k\) 位后减 \(1\) 会得到 \(2^k - 1\) 的形式。这样的形式的二进制表达类似于 111...11 ,总共有 \(k-1\)\(1\)。将原数和该数按位或该数,会自动忽略高位,原因同上。同时其原理也是 \(0\)\(1\) 与上 \(1\) 总是等于自身。

操作 3

1 << k 操作的含义同上。\(0\)\(1\) 异或上 \(1\) 总是取反,当 \(0\) 异或 \(1\) 两者不同结果是 \(1\),而 \(1\) 刚好相反。这样可以利用一个形如 100...00 的二进制数,对单个位进行取反,故正确。

操作 4

1 << k 操作的含义同上。\(0\)\(1\) 或上 \(1\) 总是为 \(1\)。这是基础定义,不用 Sora 多解释了。

操作 5

1 << k 操作的含义同上。但是将这个数取反就会得到一个形如 111...11011..111 的数。同时,我们知道 \(0\)\(1\) 与上 \(0\) 总是为 \(0\)\(0\)\(1\) 与上 \(1\) 总是等于自身,那么就相当于修改了第 \(k\) 位为 \(0\)。认为这个操作比较妙。

posted @ 2021-08-05 01:36  Inversentropir-36  阅读(134)  评论(0编辑  收藏  举报