矩阵乘法及应用（矩阵快速幂 等）
有关矩阵的深度学习，可见工程数学线性代数 。这里只简单说明一下，所谓矩阵，可看做把一堆数按一定规律写在一起的集合。
矩阵乘法：
对于一个n行q列的矩阵A和一个q行m列的矩阵B，A*B=C，C是一个n行m列的矩阵，且结果矩阵C第i行与第j列交叉位置的那个值，等于第一个矩阵A第i行与第二个矩阵B第j列，对应位置的每个值的乘积之和，即：Cij =Σaik*bkj(1<=i<=n,1<=j<=m,1<=k<=q)。有定义得，若矩阵A、B做A*B的乘法，则A的列数必须等于B的行数。且若A*B=C成立， B*A=C不一定成立，即：
矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律。
代码：
const int N=100; int c[N][N]; //c是最终的矩阵 void multi(int a[][N],int b[][N],int n) { memset(c,0,sizeof c); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) for(int k=1;k<=n;k++) c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j]; }
若调整一下for的ijk顺序，调为ikj，实际运行效率会比上文代码快3倍左右，这里涉及到计算机原理的一些知识。
优化代码：
const int N=100; int c[N][N]; //c是最终的矩阵 void multi(int a[][N],int b[][N],int n) { memset(c,0,sizeof c); for(int i=1;i<=n;i++) for(int k=1;k<=n;k++) for(int j=1;j<=n;j++) c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j]; }
简单来说，计算机里有一种叫高速缓存的东西，调用高速缓存中元素的时间花销远小于向内存查询元素，调用数组元素[i][j]时，它会把紧挨该数组元素之后的一些元素[i][j+1]...[i][j+k]放入高速缓存里，若下一个调用的数组元素正好在缓存里，则时间花销会很小；否则会花费更多的时间去在内存中寻找要调用的元素。简而言之，为了优化效率，对数组元素进行遍历时尽量按顺序遍历。整体越有序，时间效率就越高。
再说明为什么可以调整ijk的顺序。c[i][j]的结果实际上是所有a[i][k]*b[k][j]结果的积累值。不管ijk的顺序如何，都会将三元组（i,j,k）（1<=i<=n,1<=j<=m,1<=k<=q）都遍历一遍，即所有a[i][k]*b[k][j]的计算都被且只被计算了一次，那么最终的积累值就不会改变，故ijk的顺序不会影响答案的正确性。
口胡：两矩阵AB相乘，结果矩阵C的行数是第一个矩阵A的，列数是第二个矩阵B的，A的列数k要与B的行数相等，C的第i行j列的值为A矩阵第i行依次乘B矩阵第j列的积的和（也是A的列数要与B的行数相等的原因，要对应），也可见k等于多少都可以，两个狭窄的小矩阵（10*1 和 1*11 ）乘起来也能是大矩阵（10*11），破除一下初学时不对的感觉/印象吧。
矩阵快速幂：
数的快速幂可将O(n)的计算次数降低到O(logn）的规模，单次矩阵乘法的计算复杂度为O(n^3) n为矩阵大小规模。对于一个大小规模为n的矩阵求它的k次幂，暴力计算复杂度为O（n^3 k）。运用快速幂的知识，将矩阵作为快速幂的底数，可将复杂度降到O( n^3 log k）。代码方面只需在快速幂代码的基础上重载一下运算符就好。
应用：
矩阵快速幂加速线性递推:
例题见矩阵快速幂和矩阵乘法
核心思想：对于一个有限的一次线性递推式（形如f(x)=a1*f(x-1)+a2*f(x-2)+...+ai*f(x-i)+b，例如斐波那契数列的递推式），总可以写成矩阵的形式。最坏的情况下，也存在这样一个写法：存结果矩阵U为一个1行i+1列的矩阵：[f(x) f(x-1) …… f(x-i+1) b]，转移矩阵E（要进行快速幂的矩阵）为一个i+1行、i+1列的矩阵，如图的由a1~ai和若干0 、1组成的矩阵：
这样U*E得到的矩阵和U大小一样，且对应位置的f项的下标都加了1，便是递推了一层，再配合快速幂，快速递推到首项为f(n)的矩阵，即求得答案。
矩阵乘法和方程组之间的转化关系：
方程组可用矩阵表示，例如：
方程组数目可以更多，只要左矩阵列数等于右矩阵行数，结果矩阵行、列数等于左。右矩阵。
矩阵乘法加速递推：
其实不止线性递推式，只要能写出结果矩阵和转移矩阵，任何递推都能用矩阵加速。如：洛谷P3990[SHOI2013]超级跳马 。尽管递推式是二维的，但能写出来矩阵（不限于一次推一项），就能用矩阵加速做出来。详情可见： 洛谷P3990[SHOI2013]超级跳马——思维笔记 （怎么写矩阵的典例）
*怎么写矩阵：结果矩阵要包括用的所有项，最好都写到一行或一列，方便根据矩阵乘法写转移矩阵。左矩阵管结果矩阵行，右矩阵管列。乘法中用的结果矩阵与求出的结果矩阵大小要一样，还要给转移矩阵留出空间。左矩阵乘的时候看一行中所有元素，右矩阵则看一列中所有元素，知道这一条，再写矩阵就方便多了。结果矩阵当左矩阵，是一横行；当右矩阵，是一竖列。乘完后的结果矩阵的每个项都要变成递推一层后的结果。矩阵推一次可以推很多个项，不止局限于一项，还可能是一列、两列，一个整体的奇怪的部分等。
