SSE图像算法优化系列十一：使用FFT变换实现图像卷积。

本文重点主要不在于FFT的SSE优化，而在于使用FFT实现快速卷积的相关技巧和过程。

关于FFT变换，有很多参考的代码，特别是对于长度为2的整数次幂的序列，实现起来也是非常简易的，而对于非2次幂的序列，就稍微有点麻烦了，matlab中是可以实现任意长度FFT的，FFTW也是可以的，而Opencv则有选择性的实现了某些长度序列的变换，查看Opencv的代码，可以发现其只有对是4的整数次幂的数据部分采用了SSE优化，比如4、16、64、256、1024这样的序列部分，因此基4的FFT是最快的，而剩余的部分则依旧是普通的C语言实现，我这里主要是把Opencv的代码抠出来了。

Opencv关于FFT实现的代码在Opencv 3.0\opencv\sources\modules\core\src\dxt.cpp中，代码写的特别复杂，扣取工作也做的相当艰苦，其基4的SSE优化核心代码如下所示：

// optimized radix-4 transform
template<> struct DFT_VecR4<float>
{
    int operator()(Complex<float>* dst, int N, int n0, int& _dw0, const Complex<float>* wave) const
    {
        int n = 1, i, j, nx, dw, dw0 = _dw0;
        __m128 z = _mm_setzero_ps(), x02=z, x13=z, w01=z, w23=z, y01, y23, t0, t1;
        Cv32suf t; t.i = 0x80000000;
        __m128 neg0_mask = _mm_load_ss(&t.f);
        __m128 neg3_mask = _mm_shuffle_ps(neg0_mask, neg0_mask, _MM_SHUFFLE(0,1,2,3));

        for( ; n*4 <= N; )
        {
            nx = n;
            n *= 4;
            dw0 /= 4;

            for( i = 0; i < n0; i += n )
            {
                Complexf *v0, *v1;

                v0 = dst + i;
                v1 = v0 + nx*2;

                x02 = _mm_loadl_pi(x02, (const __m64*)&v0[0]);
                x13 = _mm_loadl_pi(x13, (const __m64*)&v0[nx]);
                x02 = _mm_loadh_pi(x02, (const __m64*)&v1[0]);
                x13 = _mm_loadh_pi(x13, (const __m64*)&v1[nx]);

                y01 = _mm_add_ps(x02, x13);
                y23 = _mm_sub_ps(x02, x13);
                t1 = _mm_xor_ps(_mm_shuffle_ps(y01, y23, _MM_SHUFFLE(2,3,3,2)), neg3_mask);
                t0 = _mm_movelh_ps(y01, y23);
                y01 = _mm_add_ps(t0, t1);
                y23 = _mm_sub_ps(t0, t1);

                _mm_storel_pi((__m64*)&v0[0], y01);
                _mm_storeh_pi((__m64*)&v0[nx], y01);
                _mm_storel_pi((__m64*)&v1[0], y23);
                _mm_storeh_pi((__m64*)&v1[nx], y23);

                for( j = 1, dw = dw0; j < nx; j++, dw += dw0 )
                {
                    v0 = dst + i + j;
                    v1 = v0 + nx*2;

                    x13 = _mm_loadl_pi(x13, (const __m64*)&v0[nx]);
                    w23 = _mm_loadl_pi(w23, (const __m64*)&wave[dw*2]);
                    x13 = _mm_loadh_pi(x13, (const __m64*)&v1[nx]); // x1, x3 = r1 i1 r3 i3
                    w23 = _mm_loadh_pi(w23, (const __m64*)&wave[dw*3]); // w2, w3 = wr2 wi2 wr3 wi3

                    t0 = _mm_mul_ps(_mm_moveldup_ps(x13), w23);
                    t1 = _mm_mul_ps(_mm_movehdup_ps(x13), _mm_shuffle_ps(w23, w23, _MM_SHUFFLE(2,3,0,1)));
                    x13 = _mm_addsub_ps(t0, t1);
                    // re(x1*w2), im(x1*w2), re(x3*w3), im(x3*w3)
                    x02 = _mm_loadl_pi(x02, (const __m64*)&v1[0]); // x2 = r2 i2
                    w01 = _mm_loadl_pi(w01, (const __m64*)&wave[dw]); // w1 = wr1 wi1
                    x02 = _mm_shuffle_ps(x02, x02, _MM_SHUFFLE(0,0,1,1));
                    w01 = _mm_shuffle_ps(w01, w01, _MM_SHUFFLE(1,0,0,1));
                    x02 = _mm_mul_ps(x02, w01);
                    x02 = _mm_addsub_ps(x02, _mm_movelh_ps(x02, x02));
                    // re(x0) im(x0) re(x2*w1), im(x2*w1)
                    x02 = _mm_loadl_pi(x02, (const __m64*)&v0[0]);

                    y01 = _mm_add_ps(x02, x13);
                    y23 = _mm_sub_ps(x02, x13);
                    t1 = _mm_xor_ps(_mm_shuffle_ps(y01, y23, _MM_SHUFFLE(2,3,3,2)), neg3_mask);
                    t0 = _mm_movelh_ps(y01, y23);
                    y01 = _mm_add_ps(t0, t1);
                    y23 = _mm_sub_ps(t0, t1);

                    _mm_storel_pi((__m64*)&v0[0], y01);
                    _mm_storeh_pi((__m64*)&v0[nx], y01);
                    _mm_storel_pi((__m64*)&v1[0], y23);
                    _mm_storeh_pi((__m64*)&v1[nx], y23);
                }
            }
        }

        _dw0 = dw0;
        return n;
    }
};

　　其实也不复杂，总觉得里面的_mm_loadh_pi用的很好，这也得益于其数据源采用了Complex格式，这样数据的实部和虚部在内存中是连续的，用SSE加载数据是也就很方便了。

　　上面只是部分代码，为了配合该过程，还有很多的初始化，比如数据的shuffle等。详见Opencv的文件。

　　对于2维的FFT变换，我没有去扣CV的代码，而是直接先每行进行一维的FFT1D，然后对结果在进行列方向的FFT1D，由于FFT1D算法需要处理的序列必须是连续的内存，因此，需要对中间的结果进行转置，处理完后在转置回来，为了节省时间，这个转置也应该用SSE优化。

　　当2维的宽度和高度相同时，这个转置是不需要分配另外一份额外的内存的，这个叫In-Place转置，另外一个重要优点就是FFT1D算法也支持In-Place操作。

　　由于是对Complex数据进行转置，我们可以换个角度考虑，因为一个Complex正好和double数据占用同样的内存，这样直接利用和double相关的SSE指令就可以方便的实现Complex相关数据的转置。比如当宽度和高度一样时，刻直接使用下述方式。

inline void Inplace_TransposeSSE2X2D(double *Src, double *Dest, int Length)
{
    __m128d S0 = _mm_loadu_pd(Src);                        
    __m128d S1 = _mm_loadu_pd((Src + Length));            
    __m128d D0 = _mm_loadu_pd(Dest);                
    __m128d D1 = _mm_loadu_pd((Dest + Length));            
    _mm_storeu_pd(Dest, _mm_unpacklo_pd(S0, S1));
    _mm_storeu_pd(Dest + Length, _mm_unpackhi_pd(S0, S1));
    _mm_storeu_pd(Src, _mm_unpacklo_pd(D0, D1));
    _mm_storeu_pd(Src + Length, _mm_unpackhi_pd(D0, D1));
}

　　参考系统的Intrinsic的_MM_TRANSPOSE4_PS函数，可以发现double类型的转置方式不太一样，可以直接使用有关的unpack函数，而不使用shuffle，当然使用shuffle也是没有问题的。

　　那么最后我实现的FFT2D函数如下所示：

int FFT2D(Complex *Input, Complex *Output, int Width, int Height, bool Invert, int StartZeroLines = 0, int EndZeroLines = 0)
{
    if ((Input == NULL) || (Output == NULL))                                return IM_STATUS_NULLREFRENCE;
    if ((IsPowerOfTwo(Width) == false) || (IsPowerOfTwo(Height) == false))    return IM_STATUS_INVALIDPARAMETER;

    if (Width == Height)
    {
        void *Buffer = FFT_Init(Width);
        if (Buffer == NULL)    return IM_STATUS_OUTOFMEMORY;

        for (int Y = StartZeroLines; Y < Height - EndZeroLines; Y++)
            FFT1D(Input + Y * Width, Output + Y * Width, Buffer, Width, Invert);            //    先水平方向变换
        InPlace_TransposeD((double *)Output, Width);                                        //    再位转置

        for (int Y = 0; Y < Height; Y++)
            FFT1D(Output + Y * Width, Output + Y * Width, Buffer, Width, Invert);            //    再垂直方向变换
        InPlace_TransposeD((double *)Output, Width);
        FFT_Free(Buffer);
    }
    else
    {
        void *Buffer = FFT_Init(Width);
        if (Buffer == NULL)    return IM_STATUS_OUTOFMEMORY;

        for (int Y = StartZeroLines; Y < Height - EndZeroLines; Y++)
            FFT1D(Input + Y * Width, Output + Y * Width, Buffer, Width, Invert);
        Complex *Temp = (Complex *)malloc(Width * Height * sizeof(Complex));
        if (Temp == NULL)
        {
            FFT_Free(Buffer);
            return IM_STATUS_OUTOFMEMORY;
        }
        TransposeD((double *)Output, (double *)Temp, Width, Height);
        FFT_Free(Buffer);

        Buffer = FFT_Init(Height);                                                            //    必须要二次初始化
        if (Buffer == NULL)    return IM_STATUS_OUTOFMEMORY;

        for (int Y = 0; Y < Width; Y++)
            FFT1D(Temp + Y * Height, Temp + Y * Height, Buffer, Height, Invert);
        TransposeD((double *)Temp, (double *)Output, Height, Width);
        FFT_Free(Buffer);
        free(Temp);
    }
    return IM_STATUS_OK;
}

　　注意在函数的最后我增加了StartZeroLines 和EndZeroLines 两个参数，他们主要是在进行行方向的FFT1D是忽略最前面的StartZeroLines和最后面的EndZeroLines 个全0的行，因为全0的变换后面的结果还是0，没有必要进行计算，减少计算时间。在opencv中也是有个nonzero_rows的，但是他只是针对前面的行，而实际中，比如很多情况是，先要扩展数据，然后把有效数据放置在左上角，这样只有右下角有非零元素，所以opencv这样做就无法起到加速作用了。

　　对扣取的代码进行了实际的测试，1024*1024的数据，进行100次正反变换，耗时3000ms，使用matlab进行同样的操作，耗时约5500ms，并且观察任务管理器，在4核PC上CPU使用率100%，说明他内部使用了多线程，不过有一点就是matlab使用的是double类型的数据。听说matlab最新版使用的就是FFTW库，不过无论如何，这个速度还是可以接受和相当快的。

　　下面我们重点谈下基于FFT的图像卷积的实现，理论上如果图像a大小为N * M，卷积核b大小为 X * Y，则卷积实现的过程如下：

　　首先扩展数据，扩展后的大小为 (N + X - 1) * (M + Y - 1)，将卷积核数据放置到扩展后的数据的左上角，其他元素填充0，得到bb，对bb进行FFT2D正向变换得到B，然后也将图像数据放置到图像的左上角，其他元素填充为0，得到aa，对aa也进行FFT2D正向变换得到B，接着对A和B进行点乘得到C，最后对C进行逆向的FFT变换得到D，最后取D的中间部分有效数据就是卷积的结果。

　　举个例子，假设图像数据为：

　　卷积核为：

　　扩展后的图像数据为：

　　扩展后的卷积数据为：

　　进行上述操作：D = ifft2(fft2(aa).*fft2(bb))，得到：

　　中间部分的数据就是卷积的有效数据。

　　仔细观察，可以发现这样的卷积在边缘处是有问题，他把超出边缘部分的数据全部用0代替了，因此这种卷积还是不完美的，一种解决办法就是首先把原图沿着边缘扩展，扩展的方式可以是重复或者镜像，扩展的大小当然就和卷积核的大小有关了，一般按卷积核中心对称分布，这时，边缘扩展后的图像大小为 (N + X - 1) * (M + Y - 1)。

　　也就是说合理的过程是进行两次扩展，在进行FFT变换前的最终数据维度为 (N + X - 1 + X - 1) * (M + Y - 1 + Y - 1)，在进行逆变换得到的结果中从第(X - 1, Y - 1）坐标处取有效值。

　　我们在仔细审视下上述过程，第一、内存占用方面，需要2个 (N + X - 1 + X - 1) * (M + Y - 1 + Y - 1) * sizeof(Complex)大小的内存，这很可观的，特备是对于移动设备，第二，由于我们目前的FFT都是只能处理2的整数次幂的序列，如果以全图为对象，则有可能会增加很大的无效计算，比如N + X - 1 + X - 1 如果等于1025，则需要调整至于2048，尺寸约大，这种无效计算的可能性越大，而这于我们前面希望利用2的整数次幂的FFT最快的初衷就矛盾了。

　　一种解决方法就是分块计算，比如我们把图像分成很多个满足条件 (NN+ X - 1 + X - 1) = 256 和 (MM + Y - 1 + Y - 1) = 256的块，其中NN * MM就是图像分块大的大小，这样对卷积核那部分的FFT就是一次256*256的二维卷积，并且是公共的，这比原始的计算一块很大的(N + X - 1 + X - 1) * (M + Y - 1 + Y - 1)要节省很多时间，同时，只占用了很小的一块内存。当卷积核的大小不大于50时，每次有效的计算的块NN * MM相对于整体的2D FFT计算来说占比还是相当高的。这样可有效的减少1025尺寸直接变成了2048这样的FFT计算。

　　另外注意一点，FFT卷积是虚部和实部的作用是一样的，也就是说我们可以同时进行两个不想关元素的计算，比如对于32位图像，可以把一个块的Blue分量填充到实部，把Green分量填充到虚部，这样一次性就完成了2个分量的计算。而对于灰度图，则可以同时计算两个块，即第一个块的灰度值填充到实部，第二个块的灰度填充到虚部。这样一次性就完成了2个块的计算。

　　还有，在每个块的底部，有X - 1 + X -1个行是要填充为0的，因此这些的行的一维FFT变换是没有必要的，可以优化掉。

　　优化后的部分代码如下：

int IM_FFTConv2(unsigned char *Src, unsigned char *Dest, int Width, int Height, int Stride, float *Kernel, int KerWidth, int KerHeight)                //    阈值
{
    int Channel = Stride / Width;
    if ((Src == NULL) || (Dest == NULL))                        return IM_STATUS_NULLREFRENCE;
    if ((Width <= 0) || (Height <= 0))                            return IM_STATUS_INVALIDPARAMETER;
    if ((KerWidth >50) || (KerHeight > 50))                        return IM_STATUS_INVALIDPARAMETER;            // 卷积核越大，每次的有效计算量就越小了
    if ((Channel != 1) && (Channel != 3) && (Channel != 4))        return IM_STATUS_INVALIDPARAMETER;

    int Status = IM_STATUS_OK;

    const int TileWidth = 256, TileHeight = 256;

    int HalfW = KerWidth / 2, HalfH = KerHeight / 2;
    int ValidW = TileWidth + 1 - KerWidth - (KerWidth - 1);                                //    第一个加1是因为卷积扩展的矩阵大小为N+M-1,第二个-1是因为为了取得有效数据，还要对边缘进行扩展，扩展的大小为KerHeight - 1,比如KerHeight=5，则每边需要扩展2个像素，一共扩展4个像素
    int ValidH = TileHeight + 1 - KerHeight - (KerHeight - 1);                            //    默认的卷积的效果再卷积周边是用0来填充的，如果分块处理时，这明显是不能满足要求的，会带来明显的块于块之间的分界线

    int TileAmountX = (Width / ValidW) + (Width % ValidW ? 1 : 0);                        //    图像需要分成的块数
    int TileAmountY = (Height / ValidH) + (Height % ValidH ? 1 : 0);

    Complex *Conv = (Complex *)malloc(TileWidth * TileHeight * sizeof(Complex));        //    需要将卷积核扩展到TileWidth和TileHeight大小                    
    Complex *Tile = (Complex *)malloc(TileWidth * TileHeight * sizeof(Complex) * 3);    //    每个小块对应的数据，当为24位模式时需要3份内存，灰度只需一份

    int *RowOffset = (int *)malloc((TileAmountX * ValidW + KerWidth) * sizeof(int));    //    每个小块取样时的坐标偏移，这样在中间的块也可以取到周边合理的只，在边缘处则位镜像值
    int *ColOffset = (int *)malloc((TileAmountY * ValidH + KerHeight) * sizeof(int));

    if ((Conv == NULL) || (Tile == NULL) || (RowOffset == NULL) || (ColOffset == NULL))
    {
        Status = IM_STATUS_OUTOFMEMORY;
        goto FreeMemory;
    }
    Status = IM_GetOffsetPos(RowOffset, Width, HalfW, TileAmountX * ValidW + (KerWidth - HalfW) - Width, IM_EDGE_MIRROR);            //    左右对称
    if (Status != IM_STATUS_OK) goto FreeMemory;
    Status = IM_GetOffsetPos(ColOffset, Height, HalfH, TileAmountY * ValidH + (KerHeight - HalfH) - Height, IM_EDGE_MIRROR);
    if (Status != IM_STATUS_OK) goto FreeMemory;

    memset(Conv, 0, TileWidth * TileHeight * sizeof(Complex));                //    卷积核的其他元素都为0，这里先整体赋值为0
    for (int Y = 0; Y < KerHeight; Y++)
    {
        int Index = Y * KerWidth;
        for (int X = 0; X < KerWidth; X++)
        {
            Conv[Y * TileWidth + X].Real = Kernel[Index + X];                //    卷积核需要放置在左上角
        }
    }
    
    Status = FFT2D(Conv, Conv, TileWidth, TileHeight, false, 0, TileHeight - KerHeight);                //    对卷积核进行FFT变换，注意行方向上下部都为0，这样可以节省部分计算时间    
    if (Status != IM_STATUS_OK)    goto FreeMemory;

    if (Channel == 1)                                                                                    //    单通道时可以一次性处理2个块
    {

    }
    else if (Channel == 3)                                                                // 3通道时可以利用两个块的信息分别填充到BG  RB  GR 序列里，这样就更快了
    {

    }
    else if (Channel == 4)
    {
        Complex *TileBG = Tile, *TileRA = Tile + TileWidth * TileHeight;
        for (int TileY = 0; TileY < TileAmountY; TileY++)
        {
            for (int TileX = 0; TileX < TileAmountX; TileX++)
            {
                IM_Rectangle SrcR, ValidR;
                IM_SetRect(&SrcR, TileX * ValidW, TileY * ValidH, TileX * ValidW + ValidW, TileY * ValidH + ValidH);
                IM_SetRect(&ValidR, 0, 0, Width, Height);
                IM_IntersectRect(&ValidR, ValidR, SrcR);
                for (int Y = ValidR.Top; Y < ValidR.Bottom + KerHeight - 1; Y++)
                {
                    byte *LinePS = Src + ColOffset[Y] * Stride;
                    int Index = (Y - ValidR.Top) * TileWidth;
                    for (int X = ValidR.Left; X < ValidR.Right + KerWidth - 1; X++)
                    {
                        byte *Sample = LinePS + RowOffset[X] * 4;
                        TileBG[Index].Real = Sample[0];
                        TileBG[Index].Imag = Sample[1];
                        TileRA[Index].Real = Sample[2];
                        TileRA[Index].Imag = Sample[3];
                        Index++;
                    }
                }
                Status = FFT2D(TileBG, TileBG, TileWidth, TileHeight, false, 0, TileHeight - (ValidR.Bottom + KerHeight - 1 - ValidR.Top));
                if (Status != IM_STATUS_OK)    goto FreeMemory;

                Status = FFT2D(TileRA, TileRA, TileWidth, TileHeight, false, 0, TileHeight - (ValidR.Bottom + KerHeight - 1 - ValidR.Top));
                if (Status != IM_STATUS_OK)    goto FreeMemory;

                for (int Y = 0; Y < TileWidth * TileHeight; Y++)
                {
                    float Temp = TileBG[Y].Real;
                    TileBG[Y].Real = TileBG[Y].Real * Conv[Y].Real - TileBG[Y].Imag * Conv[Y].Imag;        
                    TileBG[Y].Imag = Temp * Conv[Y].Imag + TileBG[Y].Imag * Conv[Y].Real;
                    Temp = TileRA[Y].Real;
                    TileRA[Y].Real = TileRA[Y].Real * Conv[Y].Real - TileRA[Y].Imag * Conv[Y].Imag;
                    TileRA[Y].Imag = Temp * Conv[Y].Imag + TileRA[Y].Imag * Conv[Y].Real;
                }
                FFT2D(TileBG, TileBG, TileWidth, TileHeight, true);
                if (Status != IM_STATUS_OK)    goto FreeMemory;

                FFT2D(TileRA, TileRA, TileWidth, TileHeight, true);
                if (Status != IM_STATUS_OK)    goto FreeMemory;

                for (int Y = ValidR.Top; Y < ValidR.Bottom; Y++)
                {
                    byte *LinePD = Dest + Y * Stride + ValidR.Left * 4;
                    int Index = (Y - ValidR.Top + KerHeight - 1) * TileWidth + KerWidth - 1;
                    for (int X = ValidR.Left; X < ValidR.Right; X++)
                    {
                        LinePD[0] = IM_ClampToByte(TileBG[Index].Real);                        //    取有效的数据
                        LinePD[1] = IM_ClampToByte(TileBG[Index].Imag);
                        LinePD[2] = IM_ClampToByte(TileRA[Index].Real);
                        LinePD[3] = IM_ClampToByte(TileRA[Index].Imag);
                        LinePD += 4;
                        Index++;
                    }
                }
            }
        }
    }
FreeMemory:
    if (RowOffset != NULL) free(RowOffset);
    if (ColOffset != NULL) free(ColOffset);
    if (Conv != NULL) free(Conv);
    if (Tile != NULL) free(Tile);
    return Status;
}