题解：洛谷 P2157 [SDOI2009] 学校食堂

题意

有 \(n\) 个学生在食堂窗口排成一列打饭，他们每个人都有一个想吃的口味 \(t_i\)。食堂每次只能为一个人做菜，但是必须满足学生的口味。食堂做菜花费的时间是与上一道菜绑定的，假设某道菜口味为 \(a\)，上一道菜为 \(b\)，那么做这道菜花费时间为 \((a\operatorname{or}b)-(a\operatorname{and}b)\)，做第一道菜不计算时间。为了加快做饭时间，食堂不会严格按照排队顺序做菜，也就是说食堂有可能会给队列中第二、第三、甚至更靠后的同学做菜，但是同学也是有忍耐限度的，每个同学最多只允许紧跟他后面的 \(b_i\) 个同学先拿菜，否则同学就会闹事。在不让同学闹事的情况下，求给所有同学做完菜的最短时间。

\(b_i\le7\)。

思路

看到 \(b_i\) 的范围，想到状压。

我们把 \(b_i\) 先看作 \(7\)，那么对于编号为 \(i\) 的同学，他之后的 \(7\) 个人必定在忍耐限度内，那么我们可以把这 \(8\) 个人的打饭状态压缩成一个二进制数，即总状态数为 \(2^8\)。根据做菜时间的计算公式，我们还要记录 \(i\) 前一个打饭的人是谁，思考发现，\(i\) 之后的 \(7\) 个人有可能是他前一个打饭的人，而 \(i\) 也可能在 \(i\) 之前的 \(7\) 个人的忍耐限度内，所以这 \(7\) 个人也可能先打饭。

如果思考到这里，就会出错。我们发现当第 \(i-8\) 个人打完饭后，轮到 \(i-7\) 了，但是此时 \(i-7\) 的忍耐范围内可能会有 \(i\)，那么 \(i\) 就可能在下一个打饭，所以此时 \(i\) 的前一个人为 \(i-8\)，即一共有 \(15\) 个人可能在 \(i\) 前面打饭，加上他自己就是 \(16\) 个人。

由于我们要枚举 \(i\)，所以还有一维数组。那么我们状态记录的方式就想出来了：用 \(f_{i,j,k}\) 表示当前枚举到 \(i\)，他前面的所有人都打完饭了，此时 \(i\) 和他后面 \(7\) 个人的状态为 \(j\)，上一个打饭的人为 \(k\)。但是如果记录上一个打饭人的编号就会爆空间，于是想到可以记录上一个打饭的人到 \(i\) 的距离 \(k-i\)，由于 \(k-i\) 可能为负，在记录下标时，我们将 \(k\) 统一 \(+8\)。于是 \(k\) 的意义更改为，上一个打饭人到 \(i\) 的距离。

接下来思考如何转移。对于同学 \(i\) 和状态 \(j\)，如果 \(i\) 已经打完饭了，则有 \(j\&1=1\)，此时我们就可以进行到 \(i+1\) 同学了，而由于 \(i\) 的状态在 \(j\) 的第一位，我们要将 \(j\) 右移一位。对于 \(k\)，设上个打饭的同学编号是 \(st\)，则 \(k=st-i\)，而此时 \(k=st-(i+1)=st-i-1\)，所以 \(k\) 要减一。在不考虑记录下标时统一加的 \(8\) 的情况下，此时的状态转移方程为 \(f_{i+1,j>>1,k-1}=\min(f_{i+1,j>>1,k-1})\)。

如果 \(j\&1=0\)，那么 \(i\) 没有打饭，我们就不能进行到下一个同学。此时我们可以考虑让后面的同学先打饭，也就是说可以再来一重循环，枚举 \(i\) 后面的同学 \(w\) 先打饭的情况，但是为了防止超过前面同学的忍耐度，我们用一个 \(s\)，在枚举的同时记录从 \(i\) 开始的同学的最大能忍耐的位置的最小值，一旦枚举过了这个最小值，就有同学无法忍耐，直接break掉。

此时我们就确定了上一个打饭的人为 \(w\)，那么状态 \(j\) 也要更改。而花费的时间 \(time=(t_k|t_w)-(t_k\& t_w)\) 也可以计算。则此时的状态转移方程为 \(f_{i,j|2^w,w}=min(f_{i,j,k}+time)\)。

注意不要越界。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e3+10,inf=0x3f3f3f3f;
int C;
int n,ans=inf;
int t[maxn],b[maxn];
int f[maxn][266][26];//k+8
int main(){
	cin>>C;
	while(C--){
		memset(t,0,sizeof(t));
		memset(b,0,sizeof(b));
		memset(f,inf,sizeof(f));
		cin>>n;
		for(int i=1;i<=n;i++)cin>>t[i]>>b[i];
		f[1][0][7]=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=0;j<=255;j++){
				for(int k=-8;k<=7;k++){
					if(f[i][j][k+8]==inf)continue;
					if(j&1)f[i+1][j>>1][k+7]=min(f[i][j][k+8],f[i+1][j>>1][k+7]);
					else{
						int s=inf;
						for(int w=0;w<=7;w++){
							if((j>>w)&1)continue;
							if(w+i>s)break;
							s=min(s,w+i+b[w+i]);
							if(i+k>0)f[i][j|(1<<w)][w+8]=min(f[i][j|(1<<w)][w+8],f[i][j][k+8]+(t[i+k]|t[i+w])-(t[i+k]&t[i+w]));
							else f[i][j|(1<<w)][w+8]=min(f[i][j|(1<<w)][w+8],f[i][j][k+8]);
						}	
					}
				}
			}
		}
		ans=inf;
		for(int i=-8;i<=-1;i++)ans=min(ans,f[n+1][0][i+8]);
		cout<<ans<<'\n'; 
	}
	return 0;
}