特征值和特征向量

1.定义 

2.求解特征值 

求解特征方程即可得到特征值

3.特征向量求解

\( \left(\lambda I-A\right)x=0\) 

4.矩阵的秩和特征值的关系

4.矩阵的特征值分解

特征值分解是将一个矩阵分解成下面的形式：

\(A=Q\sum Q^{-1}\)

其中Q是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵，Σ是一个对角阵，每一个对角线上的元素就是一个特征值。

5.矩阵的含义[1]

 

一个矩阵其实就是一个线性变换，因为一个矩阵乘以一个向量后得到的向量，其实就相当于将这个向量进行了线性变换。比如说下面的一个矩阵：

 它其实对应的线性变换是下面的形式： 

因为这个矩阵M乘以一个向量(x,y)的结果是：

当矩阵不是对称的时候，假如说矩阵是下面的样子：

  

特征值分解可以得到特征值与特征向量，特征值表示的是这个特征到底有多重要，而特征向量表示这个特征是什么，可以将每一个特征向量理解为一个线性的子空间，我们可以利用这些线性的子空间干很多的事情。不过，特征值分解也有很多的局限，比如说变换的矩阵必须是方阵。

 

 [1]http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzA5ODUxOTA5Mg==&mid=401860790&idx=1&sn=8720a2a1d83f407087b665c753fc9fc9&scene=1&srcid=0811KwT9hjyqcbJYMISXaLbc#rd